Kamatozás

A három eltérő kamatszámítási mód
Érdekes megfigyelni a nominális kamat és az effektív hozam metszéspontját egy évnél.

A kamat a pénz időértékének megtestesülése. Ha egy pénzösszeget a bankba elhelyezünk, akkor a bank pénz használatáért a betétünkre bizonyos kamatot ad. Hasonlóan, ha a bank pénzét használjuk, akkor ezért a felvett hitelért bizonyos ellenszolgáltatást kell nyújtanunk. Mivel a betétek és a hitelek kamatszámítási módja eltérő, ezért érdemes megismerni a három elterjedt változatát.

Nominális kamatozás

A nominális kamatozás (névleges vagy egyszerű kamatozás) során a kiinduló összeg (az alaptőke) bizonyos százalékban kifejezett hányadát szabályos időközönként (kamatperiódus) hozzáadják a tőkéhez. Ezt a százalékot kamatlábnak nevezzük.
A banki hirdetésekből ismert EBKM (egységesített betéti kamatláb mutató) is a nominális kamatozás módszerével számítódik. Ennek a bankok részéről praktikus oka, hogy az éves nominális kamatból számított egy évnél rövidebb távra szóló kamat magasabb, mint éven belül az effektív hozam, így az ügyfeleknek többnek tűnhet. Számítási módja:

$V_1=V_0\cdot (1+t\cdot k)$

$V_0$ : alaptőke $V_1$ : tőke a futamidő végén $t$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve $k$ : kamatláb Nominális kamatozás esetén a kamatozási periódus végén kapott összegek számtani sorozatot alkotnak.

Példa

Egy újsághirdetésben azt látjuk, hogy 11%-os éves kamatot ad az egyik bank féléves lekötésre. Le szeretnénk kötni 1000 Ft-ot, mennyit kapunk fél év múlva?

$V_0=1000;k=11\mathrm{\%}=0,11;t=\frac{1}{2}$

$V_1=V_0\cdot (1+t\cdot k)=1000\cdot (1+\frac{1}{2}\cdot 0,11)=1055$

Effektív hozam

Az effektív hozam (vagy kamatos kamat) alkalmazásánál a kamatperiódus végén a kamatot nem fizetik ki, hanem hozzáadják a tőkéhez és ez a következő időszakban többletkamatot eredményez, így a kapott kamat is kamatozik. A kamatjóváírás a gyakorlatban történhet többévente, évente, vagy havonta, és bár a banki gyakorlatban ritka, de elképzelhető rövidebb, tetszőleges tőkésítési periódus (nap, perc stb.) is. A közgazdaságtanban és a pénzügyekben az effektív hozam elterjedt, kamat címén szinte kivétel nélkül ezt számolják.
A THM-et (teljes hiteldíj mutató) is jellemzően effektív hozam módszerrel számolják ki. Számítási módja:

$V_1=V_0\cdot (1+r{)}^t$

$V_0$ : alaptőke $V_1$ : tőke a futamidő végén $t$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve $r$ : effektív hozam Kamatos kamatozás esetén a periódusidők végén kapott összegek mértani sorozatot alkotnak.

Példa

Hasonlítsuk össze, hogy mi történne, ha effektív hozammal számítanánk ki a fél év után esedékes pénzünket!

$V_0=1000;r=11\mathrm{\%}=0,11;t=\frac{1}{2}$

$V_1=V_0\cdot (1+r{)}^t=1000\cdot (1+0,11{)}^{\frac{1}{2}}=1000\cdot \sqrt{1,11}\approx 1053,565$

Ez valamennyivel kevesebb, mint amit nominális kamatozással kaptunk volna.

Logaritmikus hozam

A logaritmikus hozam (gyakran rövidebben loghozam) másik neve folyamatos kamatozás, ugyanis a kamatfizetés technikailag minden időpillanatban történik. Számítási módjának megértéséhez először vezessük be az $r$ hozamú, éven belül $m$ alkalommal történő kamatos kamatozás képletét:

$V_1=V_0\cdot {(1+\frac{r}{m})}^m$

Ha $m$ tart a végtelenhez (azaz a bank minden pillanatban jóváírja a kamatot), akkor határértéke $e^r$, ahol $e$ az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapszáma (értéke közelítőleg: $e\approx 2,718$):

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{r}{m})}^m=e^r$

Így a folytonos kamatozás képlete:

$V_1=V_0\cdot e^{t\cdot y}$

$V_0$ : alaptőke $V_1$ : tőke a futamidő végén $t$ : futamidő a kamatperiódusok számában kifejezve $y$ : loghozam Bár a mindennapi életben nem találkozhatunk vele, de a bankoknál rendszeresen alkalmazzák, mivel a számítások több esetben jelentősen egyszerűsödnek vele.

Példa

Megmutatjuk, hogy miért egyszerű loghozamokkal számolni! Legyen most is az indulótőkénk 1000 Ft, amit le szeretnénk kötni 3 évre. Olyan szerencsések vagyunk, hogy tudjuk előre három évre az éves loghozamokat, amelyek rendre 5%, 6% és 7%.

$V_0=1000;y_1=5\mathrm{\%}=0,05;y_2=6\mathrm{\%}=0,06;y_3=7\mathrm{\%}=0,07;$

$V_1=V_0\cdot e^{y_1}=1000\cdot e^{0,05}\approx 1051,27$

$V_2=V_1\cdot e^{y_2}=1051,27\cdot e^{0,06}\approx 1116,28$

$V_3=V_2\cdot e^{y_3}=1116,28\cdot e^{0,07}\approx 1197,22$

Kicsit egyszerűbben, a hatványozási azonosságot kihasználva:

$V_3=V_2\cdot e^{y_3}=V_1\cdot e^{y_2}\cdot e^{y_3}=V_0\cdot e^{y_1}\cdot e^{y_2}\cdot e^{y_3}=V_0\cdot e^{y_1+y_2+y_3}$

$V_3=V_0\cdot e^{y_1+y_2+y_3}=1000\cdot e^{0,05+0,06+0,07}=1000\cdot e^{0,18}\approx 1197,22$

Kapcsolódó szócikkek

• Kamat
• Jelenérték
• Hozamgörbe

Ajánlott irodalom

• Bodie, Z. - Kane, A. - Marcus, A. J. (2005), Befektetések, Aula Kiadó, ISBN 963-95-8542-4
• Brealy, R. A. - Myers, S. C. (2005), Modern vállalati pénzügyek, Panem Kiadó, ISBN 963-54-5422-8