Kanonikus kvantálás

A kvantummechanikában a kanonikus kvantálás egy matematikai módszer, amely a klasszikus dinamikai rendszerek Hamilton-formalizmusáról a kvantumelméletben alkalmazott operátor-formalizmusra való áttérést valósítja meg, így a fizikai mennyiségeket operátorokkal helyettesítjük.

Szemléltetése egy példával

A kvantumelmélet egy nevezetes axiómája – a korrespondenciaelv – szerint a klasszikus mechanika és a kvantummechanika alapelvei egymással bizonyos mértékig korrelálnak. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a jelenségek azon körére, melyeket a klasszikus fizika kellő pontossággal tárgyalni képes, a kvantummechanikán belül is tárgyalható, bár esetleg más formalizmussal. Példaképpen tekintsük egy atomi spektrumot, melynek vonalait, megoldásait keressük. A kvantummechanikai tárgyalásmód alapján egy n és m kvantumszámmal meghatározott atomi elektronállapotok közti átmenetkor létrejövő sugárzás frekvenciáját az ${\omega }_{mn}=\frac{1}{\hslash }(E_m-E_n)$ határozza meg. A Bohr-modellben az elektron L impulzusmomentuma állandó, ennek nagyságát az $L=n\hslash$ összefüggés határozza meg. Ezt kvantálási módszert Arnold Sommerfeld és William Wilson egymástól függetlenül általánosította periódikus mozgásokra, amelyből következik a $\varphi =\oint pdx=2\pi h(n+\alpha )$ összefüggés. A korrespondenciaelv alapján az mondható, hogy a fentebb definiált frekvenciák adott feltételek mellett közelítőleg egybeesnek a klasszikus frekvenciákkal. Nézzünk egy klasszikus kanonikus fizikai mennyiségpárt, erre érvényes, hogy  $\{q,p{\}}_{PB}=1$. Rendeljünk ehhez egy olyan $\hat{q},\hat{p}$ operátorpárt, amely a Hilbert-térben megfelel a felcserélési relációnak. Mivel a Hilbert-tér operátorai egymással rendszerint nem felcserélhetők, a kommutátoruk nem lesz nulla. Ekkor a következő írható fel: $[\hat{q},\hat{p}]=i\hslash [\hat{q},\hat{q}]=[\hat{p},\hat{p}]=0$. Azon fizikai mennyiségek, melyek operátorai nem kommutálnak, nem mérhetők tetszőleges pontossággal. Ezt mondja ki Heisenberg határozatlansági elve is. Követve ezt a gondolatmenetet, tekintsük a $\hat{H}(\hat{q},\hat{p})$ operátorpárt, amelyet hozzárendelünk a Hamilton-függvényhez. Ezt gyakorlatilag minden dinamikai mennyiséggel megtehetünk (hermitikus operátorok). Ha $A$ operátora $\hat{A}$ és ennek adjungáltja ${\hat{A}}^{†}$, akkor azt írhatjuk, hogy:$⟨\psi |\widehat{A^{†}}|\varphi ⟩\equiv ⟨\varphi |\hat{A}\psi ⟩$. A rendszer $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ kvantumállapotát t időpontban a Schrödinger-egyenlet írja le, azaz $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Phi }(t)⟩=\hat{H}(\hat{q},\hat{p})|\mathrm{\Psi }(t)⟩$. A $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ értékét kezdeti feltételek határozzák meg. A fentiek értelmében a kvantumelméletben – éppúgy, mint a klasszikus értelmezésben – a rendszer fizikai állapotának időfejlődését a Hamilton-függvény határozza meg.

Kanonikus kvantálás a térelméletben

A kanonikus kvantálás a térelméletben a kvantummechanikai axiómák klasszikus térelméletben való alkalmazásával adható meg. Egy $\varphi (x)$ skalártérre, ha a Lagrange-sűrűség ${ℒ}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )$, akkor a kanonikus impulzus:$\mathrm{\Pi }(x)=\frac{\partial {ℒ}}{\delta {\partial }_0\varphi (x)}$. Nemrelativisztikus terek esetén – követve a kvantálási szabályokat – végső soron egy sokrészecskés Hilbert-tér jön létre. Ennek okán a téroperátor kiterjeszthető egy normált síkhullám megoldáshalmazára. Ekkor felírható, hogy $\varphi (x)=\sum _P[f_p(x)a_p+f_p^{*}(x)a_p^{†}]$. Megfigyelhető, hogy az egyenlet jobb oldala részecskekeltő és eltüntető operátorokat is magában foglal. Ez annak tudható be, hogy a tér- és impulzus operátor kvantálása hermitikus operátorokat képez (ez azt jelenti, hogy $(\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2)=({\mathrm{\Psi }}_1,\hat{H}{\mathrm{\Psi }}_2)$). Behelyettesítve $f_p(x)$ és $f_p^{*}(x)$ helyére az explicit hullámfüggvényeket a következő kifejezést kapjuk: $$\varphi (x)=\sum _P\frac{1}{(2p^{0}V{)}^{\frac{1}{2}}}(e^{-ipx}{a}_p+e^{ipx}{a}_p^{†}])$$ A fenti kifejezések a Hilbert-tér szabad részecskéire teljes kifejezés.

Források

• Kleinert, Hagen. Particles and quantum fields. Singapore Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd (2016). ISBN 978-981-4740-89-0 
• W. Greiner and J. Reinhardt: Quantum Electrodynamics, Springer, Berlin, 2008.
• Nagy, Károly. Kvantummechanika: egyetemi tankönyv (magyar nyelven). Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó (2000). ISBN 963-19-1127-6 
• Sailer Kornél: Bevezetés a kvantummechanikába. Debreceni Egyetem, Elméleti Fizikai Tanszék (2008)

Kapcsolódó szócikkek

• Hilbert-tér