Katenoid

Katenoid

A katenoid egy felület a 3 dimenziós euklideszi térben, ami a láncgörbének a saját vezéregyenese körüli elforgatásával jön létre. A síkot nem számítva, ez az elsőként felfedezett minimálfelület. Minimálfelület voltát Leonhard Euler állapította meg és igazolta 1744-ben. Jean Baptiste Meusnier publikációja ugyancsak az e témával foglalkozó korai munkák közé tartozik. Csak két minimál-forgásfelület (forgásfelület, ami egyben minimálfelület is) létezik: a sík és a katenoid. A katenoid a klasszikus Descartes-féle koordináta-rendszerben az alábbi paraméteres egyenletekkel definiálható:

$x=c\cosh \frac{v}{c}\cos u$

$y=c\cosh \frac{v}{c}\sin u$

$z=v$

ahol u és v valós paraméterek, c egy nem nulla értékű valós állandó.

Hengerkoordináta-rendszerben:

$\rho =c\cosh \frac{z}{c}$

ahol c egy valós állandó.

A katenoid fizikai modellje létrehozható úgy, hogy két kör alakú drótot szorosan egymás mellett szappanos oldatba mártunk, majd onnan kiemelve lassan távolítani kezdjük egymástól őket.

Csavarfelület transzformációjaként

Egy animáció ami egy csavarfelület transzformációját mutatja be katenoiddá.

Mivel mind a katenoid, mind pedig a csavarfelület elemei az úgynevezett Bonnet családnak, így egy katenoid „hajlítással” átvihető egy rész-csavarfelületbe, nyújtás nélkül. Vagyis létezik olyan (majdnem) folytonos és egybevágósági transzformációja bármely kateonidnak egy rész-csavarfelületre, amelynek deformációs családjának bármely eleme minimálfelület (vagyis az átlagos görbülete zérus). Egy ilyen leképezés egy lehetséges paraméterezése a következő:

$x(u,v)=\cos \theta \sinh v\sin u+\sin \theta \cosh v\cos u$

$y(u,v)=-\cos \theta \sinh v\cos u+\sin \theta \cosh v\sin u$

$z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta$

bármely $(u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$-re, a deformációs paraméter $-\pi <\theta \le \pi$,

ahol $\theta =\pi$ egy jobbcsavaros csavarfelületnek felel meg, $\theta =\pm \pi /2$ a kateonidnak felel meg, $\theta =0$ pedig egy balcsavaros csavarfelületnek felel meg.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Catenoid című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Külső hivatkozások

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (angolul)
• "Caténoïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (franciául)
• Animated 3D WebGL model of a catenoid (angolul)