Koordinátaszingularitás

A földrajzi koordináta-rendszer koordinátaszingularitása az Északi- és a Déli-sarkon an

A fizikában akkor beszélünk koordinátaszingularitásról, ha egy koordináta-rendszerben annak belső tulajdonságai miatt egy jól meghatározható pontnak legalább egy koordinátája nem egyértelmű. Például a Föld koordináta-rendszerében az Északi-sark és a Déli-sark földrajzi hosszúsága nem adható meg egyértelműen, mivel minden hosszúsági kör itt metszi egymást. Eltérően a fizikai szingularitásoktól, egy megfigyelő számára semmi különös nincs ezekben a pontokban, mivel ez csak a koordináta-rendszer sajátossága. Egy másik koordináta-rendszerben vagy nem léteznek, vagy máshol bukkannak fel.

Definíció

Egy pontban koordinátaszingularitás van, ha valamelyik koordináta nem egyértelmű; ez azonban egy második koordináta-rendszerre való áttéréssel megszüntethető.

Leírás

A koordináta-rendszerekben különböző helyzetekben léphetnek fel koordinátaszingularitások. Például, ha nem lehet egyértelmű $(v_1,\dots ,v_n)$ koordinátákat rendelni az ${\mathbb{ℝ}}^m$ térben egy $n$ dimenziós részsokaság vagy absztrakt részsokaság pontjaihoz, ahol $m\ge n$, akkor ezekben a pontokban koordinátaszingularitás van. A koordinátaszingularitás természete felismerhető egy alkalmas koordináta-rendszer választásával, ahol ezeknek a pontoknak egyértelmű $(x_1,\dots ,x_n)$ koordinátáik vannak. Ez lehet az euklideszi térben a Descartes-féle koordináta-rendszer, sokaságok esetén egy térkép. Ekkor van egy $T$ koordinátatranszformáció, hogy

$(x_1,\dots ,x_n)=T(v_1,\dots ,v_n),$

ami azonban a koordinátaszingularitás miatt nem invertálható. Ha $T$ komponensenként differenciálható, ami az általában használt koordináta-rendszerekre teljesül, akkor a

$J(T)=\frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial (v_1,\dots ,v_n)}$

Jacobi-mátrix a koordinátaszingularitásokban szinguláris, innen a koordinátaszingularitás név.

Példák

Az $(r,\theta )$ polárkoordináták

Polárkoordináta-rendszerben a sík pontjait az origótól mért távolság és helyvektorának az x tengely pozitív felével bezárt szöge határozza meg, ahol $r\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$ az origótól mért távolság és $\theta \in (-\pi ,\pi ]$ a helyvektor szöge. Polárkoordinátákról $(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ Descartes-koordinátákra így térhetünk át:

$x=r\cdot \cos \theta$

$y=r\cdot \sin \theta$

Az $(0,0)$ origóban koordinátaszingularitás van: ha $r=0$, akkor a transzformáció eredménye független a $\theta$ szögkoordinátától. Polárkoordinátákban az origónak nincs egyértelmű ábrázolása. A hengerkoordináta-rendszer a polárkoordináta-rendszerből kapható háromdimenziós koordináta-rendszer. A két polárkoordinátához hozzávesszük a magasságot, $h$-t harmadik koordinátaként. A transzformáció így bővül:

$z=h$

Ebben a hengerkoordináta-rendszerben az összes $(0,0,z)$ pontban koordinátaszingularitás van.

Az $(r,\varphi ,\theta )$ gömbkoordináták

Gömbkoordináta-rendszerben a háromdimenziós tér pontjait egy origótól mért távolság, $r\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$, és két szögkoordináta, $\varphi \in (-\pi ,\pi ]$ és $\theta \in [0,\pi ]$ adja meg. Az átszámítás $(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3$ Descartes-koordinátákba:

$x=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi$

$y=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi$

$z=r\cdot \cos \theta$

A transzformáció a következő koordinátaszingularitásokat mutatja meg:

• Ha $\theta =0$, akkor a $(0,0,r)$ pontok transzformációjának eredménye a pozitív z-tengelyen független a $\phi$ koordinátától.
• Ha $\theta =\pi$, akkor a $(0,0,-r)$ pont transzformációjának képe a negatív z-tengelyen független a $\phi$ koordinátától.
• Ha $r=0$, akkor a transzformáció eredménye, az $(0,0,0)$ origó független a $\phi$ és $\theta$ koordinátáktól.

Emiatt gömbkoordinátákban a teljes z-tengely összes pontjának nincs egyértelmű ábrázolása. Az $r=1$ rögzítéssel kapjuk a gömbi koordináta-rendszert, ami megegyezik a földrajzi koordináta-rendszerrel. Mivel az a gömbfelület két pontban, az $(0,0,1)$ és a $(0,0,-1)$ pontokban metszi a z-tengelyt, azért a földrajzi koordinátákban csak a $(0,0,1)$ és a $(0,0,-1)$ pontokban van koordináta-szingularitás.

Források

• Franz Embacher. Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik, 2. überarbeitete, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 167. o. (2011. április 28.) 
• Hans Jörg Dirschmid. Tensoren und Felder, 1., Wien: Springer, 492. o. (1996. április 28.) 
• Thomas Filk, Domenico Giulini. Am Anfang war die Ewigkeit: auf der Suche nach dem Ursprung der Zeit, 1., München: Beck, 243. o. (2004. április 28.) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Koordinatensingularität című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.