Krilov–Bogoljubov-tétel

A matematikai analízisben a Krilov–Bogoljubov-tétel (illetve az invariáns mérték létezésének tétele) alapvető fontosságú eredmény a dinamikai rendszerek elméletében. A tétel garantálja, hogy kompakt metrizálható térben egy adott függvényhez létezzen olyan Lebesgue-mérték , mely nem változtatja meg tetszőleges mérhető halmaz mértékét, ha azon az függvény ősképe hat. A tétel Nyikolaj Mitrofanovics Krilov és tanítványa, Nyikolaj Bogoljubov Kijevben tevékenykedő orosz matematikusok és elméleti fizikusok után kapta a nevét.

A tétel állítása

Ha (X,d) kompakt metrikus tér, F : X → X folytonos függvény, akkor létezik olyan μ: Borel(X) → [0, 1] valószínűségi Borel-mérték, melyre:

$\mu (F^{-1}(A))=\mu (A).$

ahol A tetszőleges Borel-halmaz.

Bizonyítás

Legyen C(X,R) = {f: X → R | „f folytonos” } és F ∈ C(X,X), de nem feltétlenül invertálható. Rögzítsünk továbbá egy x pontot X-ben. Létezik megszámlálható sűrű halmaz C(X,R)-ben, legyen ez

$\{{\phi }_m{\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$

Definiáljuk a következő kettős indexű sorozatot:

$s_n^{(m)}=\frac{1}{n}\sum _{l=0}^{n-1}{\phi }_m(F^l(x))$

ahol F^l az F saját magával vett l-szeres függvénykompozícióját jelöli. Világos, hogy ez a sorozat korlátos, mert X kompakt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint adott m-re létezik (n_k) indexsorozat, hogy:

$\mathrm{\exists }\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{n_k}^{(m)}\in X$

Most definiálunk egy folytonos lineáris funkcionált C(X,R)-en, ami a Riesz-féle reprezentációs tétel értelmében indukál egy mértéket. Ezt egy konvergens függvénysorozat segítségével tesszük. Legyen

$I^{(k)}:C(X)\to \mathbf{R};I^{(k)}(\phi )=\frac{1}{n_k}\sum _{l=0}^{n_k-1}\phi (F^l(x))$

Ennek tulajdonságai:

1. $I$^(k) lineáris funkcionál
2. ||$I$^(k)||≤1
3. $I$^(k)(φ_m) konvergens minden m-re (tehát a {φ_m} sűrű halmazon)

ekkor a Banach–Steinhaus-tétel miatt a $I$^(k) függvénysorozat pontonként konvergens és határfüggvénye:

$I(\phi )=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n_k}\sum _{l=0}^{n_k-1}\phi (F^l(x))$

$I$ tulajdonságai:

1. folytonos lineáris funkcionál
2. 0 ≤ φ, akkor 0 ≤ $I$(φ)
3. φ* ≡ 1, akkor $I$(φ*) ≡ 1

így a reprezentációs tétel szerint létezik μ: Borel(X) → [0, 1] mérték, hogy

$I(\phi )=\underset{X}{\int }\phi \mathrm{d}\mu$

Lemma. Minden φ ∈ C(X,R)-re $I$(φ $\circ$ F) = $I$(φ), azaz

$\underset{X}{\int }\phi \circ F\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }\phi \mathrm{d}\mu$

Ugyanis a k-adik tagok különbsége a függvénysorozatban:

$\frac{1}{n_k}\sum _{l=0}^{n_k-1}(\phi \circ F)(F^l(x))-\frac{1}{n_k}\sum _{l=0}^{n_k-1}(\phi (F^l(x))=\frac{1}{n_k}(\phi (F^{n_k}(x))-\phi (x))\to 0$

hiszen az F eggyel eltolt hatványai kioltják egymást, csak az első és az utolsó tag marad meg. Az invariáns mértéket elég a Borel(X) nyílt halmazain megadni. Ha U nyílt halmaz, akkor a karakterisztikus függvényét kibélelhetjük hozzá alulról konvergáló folytonos függvényekkel, melyekre a fenti egyenlőség áll, így a határfüggvényre is teljesülni fog. Világos továbbá az is, hogy:

$\mu (U)=\underset{X}{\int }{\chi }_U\mathrm{d}\mu =\underset{X}{\int }{\chi }_U\circ F\mathrm{d}\mu =\mu (\{z\in X\mid ({\chi }_U\circ F)(z)=1\})=$

$=\mu (\{z\in X\mid F(z)\in U\})=\mu (F^{-1}(U))$

ami ekvivalens az invarianciával.

Magyarázat

A tétel motivációja a folytonos dinamikai rendszerek pályáira vett időátlag-integrál. Legyen Φ(t,x) olyan folytonos dinamikai rendszer az X kompakt metrikus térben, mely az

$\dot{x}=f(x)$

differenciálegyenletből készült a megoldásgörbék összegyűjtésével. Ekkor a fenti bizonyításban lévő $I$ integrál-funkcionál értelme a következő. Rögzítsünk egy x pontot, és az ezen a ponton áthaladó Φ(t,x) megoldásgörbét. Az x pont választásával a Krilov–Bogoljubov-tétel által generált mérték a φ folytonos függvénynek az x ponton áthaladó megoldásra vett időátlaga:

$\stackrel{(\mathrm{t})}{\bar{\phi }}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{T\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\phi (\mathrm{\Phi }(t,x))\mathrm{d}t=\underset{X}{\int }\phi \mathrm{d}{\mu }_x$

(limesz nélkül például a benzinfogyasztás átlagos mértéke egy óra, a pályán töltött idő alatt). A fenti képlet jelentést nagyjából csak akkor hordoz, hogy ha a pálya periodikus, hiszen ekkor van értelme az időátlagot a T határértékeként számolni (például a váltóáram átlagteljesítményét végtelenbe vett T-vel lehet számolni – aperiodikus váltakozás ekkor átlagolódik ki.) Ugyanez az F folytonos leképezés által definiált Fⁿ(x) dinamikai rendszernél az I bizonyításbeli szummás képlete:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\backslash limits}\frac{1}{k}\sum _{l=0}^{k-1}\phi (F^l(x))$

Források

• PlanetMath: Krylov-Bogolyubov theorem
• Encyclopaedia of Mathematics: Krylov–Bogolyubov method of averaging