Kvantum Markov-lánc

A kvantum Markov-lánc a klasszikus Markov-lánc ötletének kiterjesztése, mely a klasszikus valószínűségszámítás helyett kvantummechanikai elveken alapszik. Kvantum Markov-láncokkal leírhatók olyan egydimenziós kvantumrendszerek (például spinláncok) egyensúlyi állapotai, melyekben csak az egymás mellett levő részecskék léphetnek kölcsönhatásba egymással. A homogén kvantum Markov-láncot egy olyan $(E,\rho )$ pár generálja, ahol $E:{𝒜}\otimes {𝒜}\to {𝒜}$ egy kvantumcsatorna, tehát egy teljesen pozitív és nyomtartó leképezés, ${𝒜}$ korlátos operátorok egy C*-algebrája, $\rho :{𝒜}\to \mathbb{ℂ}$ pedig egy kvantumállapot. Ezen objektumok segítségével bármely $n$ természetes számra rekurzív módon definiálható egy egyedi ${\rho }_n$ kvantumállapot, melynek a korrelációfüggvénye $A_0,\dots ,A_n\in {𝒜}$ megfigyelhető mennyiségekre

${\rho }_n(A_0\otimes \dots \otimes A_n)=\rho (E(A_0\otimes E(A_1\otimes \dots \otimes E(A_n\otimes I))\dots )),$

ahol $I$ az egységoperátor ${𝒜}$-ban. Egy kvantum Markov-láncot stacionáriusnak nevezünk, ha minden $A\in {𝒜}$ megfigyelhető mennyiségre

$\rho (E(I\otimes A))=\rho (A)$

teljesül. Továbbá ha az $\hat{E}(A)=E(I\otimes A)$ operátornak az 1 egyedi sajátértéke, és minden más sajátértéke kisebb egynél (lehetnek komplex sajátértékei is), akkor a lánc korrelációi exponenciálisan csökkennek.

Források

• Luigi Accardi (1981. november). „Topics in Quantum Probability”. Physics Reports 71 (3), 169–192. o.