Legendre-féle khi-függvény

A matematikában a Legendre-féle khi-függvény egy olyan függvény, amelynek a Taylor-sora megegyezik a Dirichlet-sorával. Azaz

${\chi }_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\nu }}.$

Ezzel a polilogaritmus Dirichlet-sorára hasonlít, és valóban kifejezhető a polilogaritmussal:

${\chi }_{\nu }(z)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-{\mathrm{Li}}_{\nu }(-z)].$

Megjelenik a diszkrét Fourier-transzformációban a ν rendet tekintve, a Hurwitz-féle zéta-függvénynél, és az Euler-polinomoknál. A Lerch-transzcendens speciális esete, és megadható, mint

${\chi }_{\nu }(z)=2^{-\nu }z\mathrm{\Phi }(z^2,\nu ,1/2).$

Azonosságok

${\chi }_2(x)+{\chi }_2(1/x)=\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{i\pi }{2}|\ln x|(x>0).$

$\frac{d}{dx}{\chi }_2(x)=\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}x}{x}.$

Integrálkapcsolatok

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arcsin (r\sin \theta )d\theta ={\chi }_2\left(r\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (r\sin \theta )d\theta =-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{r\theta \cos \theta }{1+r^2{\sin }^2\theta }d\theta =2{\chi }_2\left(\frac{\sqrt{1+r^2}-1}{r}\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (p\sin \theta )\arctan (q\sin \theta )d\theta =\pi {\chi }_2(\frac{\sqrt{1+p^2}-1}{p}\cdot \frac{\sqrt{1+q^2}-1}{q})$

$\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{dxdy}{1-x^2{y}^2}={\chi }_2(\alpha \beta )\mathrm{h}\mathrm{a}|\alpha \beta |\le 1$

Források

• Weisstein, Eric W.: Legendre's Chi Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630.
• Djurdje Cvijović (2006). „Integral representations of the Legendre chi function”, Kiadó: Elsevier. DOI:10.1016/j.jmaa.2006.10.083. (Hozzáférés: 2006. december 15.) 
• Mathematics Stack Exchange