M/M/1-típusú sorbanállás

A sorbanállási elméletben az M/M/1-típusú sorbanállásra jellemző, hogy egy kiszolgáló van, a rendszerbe érkezések a Poisson-folyamat szerint történnek, és a kiszolgálási idő exponenciális eloszlású. A megnevezés (M/M/1) a Kendall-féle jelölés szerint történt. Ez a típus a legegyszerűbb modell.

Meghatározás

A sorbanállás sztochasztikus folyamat, melynek állapottere {0,1,2,3...}, ahol a rendszerben lévő sorbanállók száma megfelel a számoknak.

• Az érkezési sebesség λ, a Poisson-folyamatnak megfelelően történik, és az i - i+1 átmenet jelzi, hogy új sorbanálló tag érkezett,
• A kiszolgálási idő exponenciális eloszlású, μ paraméterrel,
• A sor elején egy kiszolgáló látja el a beérkezőket, a FCFS szerint (aki elsőnek jött, elsőnek lesz kiszolgálva); Amikor a kiszolgálás megtörtént, az ügyfél (entitás) elhagyja a rendszert, és eggyel csökken a rendszerben az ügyfelek száma,
• A tároló (a kiszolgálás helye) végtelen nagy, így nincs korlátja a belépő ügyfelekre nézve.

Ezt a modellt a folytonos idejű Markov-lánccal lehet leírni, átmeneti mátrixxal:

$Q=\left(\begin{array}{cc}-\lambda & \lambda \\ \mu & -(\mu +\lambda )& \lambda \\ & \mu & -(\mu +\lambda )& \lambda \\ & & \mu & -(\mu +\lambda )& \lambda & \\ & & & & \ddots \end{array}\right)$

Ez ugyanaz a mátrix, mint amivel a születés-halálozás folyamatot írják le. Az állapottér {0,1,2,3,...}.

Az átmenet képlete

Az M/M/1-típusú sorbanállási modellnél a t időtől függő valószínűségi tömegfüggvény írja le, hogy a modell egy adott állapotban van. Tegyük fel, hogy a sorbanállási folyamat a kezdetben i állapotban van, és a p_k(t) valószínűség t időben , és k állapotban:

$p_k(t)=e^{-(\lambda +\mu )t}[{\rho }^{(k-i)/2}{I}_{k-i}(at)+{\rho }^{(k-i-1)/2}{I}_{k+i+1}(at)+(1-\rho ){\rho }^k\sum _{j=k+i+2}^{\mathrm{\infty }}{\rho }^{-j/2}{I}_j(at)]$

ahol $\rho =\lambda /\mu$, $a=2\mu \sqrt{\rho }$ és I_k a módosított elsőfajú Bessel függvény.

Állandósult eloszlás

Csak λ<μ esetben stabil a modell. Ha átlagosan, a beérkezések gyorsabban történnek, mint a kiszolgálások, akkor a sor végtelen nagyra nő, és a rendszernek nem lesz állandósult eloszlása. Az állandósult eloszlás a korlátozó tényező a nagy t-kre.

A rendszerben lévő ügyfelek száma

Annak a valószínűsége, hogy az állandósult folyamat i állapotban van (i ügyfelet tartalmaz, beleértve a kiszolgálás alatt lévőket is): ${\pi }_i=(1-\rho ){\rho }^i.$ Látható, hogy az ügyfelek száma a geometriai eloszlást követi 1−ρ paraméterrel. Így az ügyfelek átlagos száma: ρ/(1−ρ). .

A kiszolgáló foglaltsági periódusa

A kiszolgáló foglaltsági periódusa az az idő, mely az ügyfél – az üres rendszerbe való -beérkezésének pillanatától számít addig, amíg az ügyfél elhagyja a rendszert, mely újra üres lesz. A foglaltsági periódus valószínűségi sűrűségfüggvénye: $f(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{t\sqrt{\rho }}{e}^{-(\lambda +\mu )t}{I}_1(2t\sqrt{\lambda \mu })& t>0\\ 0& \text{máskülönben}\end{array}$ ahol I₁ a módosított elsőfajú Bessel függvény,Laplace-transzformációt alkalmazva, és invertálva az eredményt. Az M/M/1-típusú sorbanállási modell foglaltsági periódusának Laplace-transzformáltja:

$\mathbb{𝔼}(e^{-\theta F})=\frac{1}{2\lambda }(\lambda +\mu +\theta -\sqrt{(\lambda +\mu +\theta {)}^2-4\lambda \mu })$

Válaszidő

Az átlagos válaszidő (a teljes idő, amit az ügyfél a rendszerben tölt) a Little-törvény segítségével számolható ki, mivel 1/(μ−λ). Az átlagos várakozási idő: 1/(μ − λ) − 1/μ = ρ/(μ − λ).

Irodalom

• Khintchine, A. Y: Mathematical theory of a stationary queue. (hely nélkül): Matematicheskii Sbornik 39 (4):. 1932. 73–84. o.  
• Harrison, P. G: Response time distributions in queueing network models. (hely nélkül): Computer Science. 1993.  

Kapcsolódó szócikkek

• http://www.win.tue.nl/~iadan/que/h4.pdf
• Sorbanállási elmélet
• M/D/1-típusú sorbanállás
• M/M/c-típusú sorbanállás
• Pollaczek–Khinchine-formula
• M/G/1-típusú sorbanállás
• Valószínűségi tömegfüggvény
• Exponenciális eloszlás
• Laplace–Stieltjes transzformáció
• Valószínűségi változó
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Markov-lánc
• Matematikai statisztika