Pollaczek–Khinchine-formula

A sorbanállás-elméletben a Pollaczek–Khinchine-formula kifejezi az átlagos sorbanállási hosszúságot, ahol a feladatok a Poisson-folyamat szerint érkeznek, és a szolgáltatás ideje általános eloszlást mutat az M/G/1-típusú sorbanállás szerint. A képlettel kiszámítható az átlagos várakozási idő is. A képletet először Pollaczek Félix publikálta 1930-ban, és két évvel később Alekszandr Hincsin átdolgozta.

Az átlagos sorbanállási hossz

Az átlagos sorbanállási hossz

$L=\rho +\frac{{\rho }^2+{\lambda }^2\mathrm{Var}(S)}{2(1-\rho )}$

ahol

• $\lambda$ A Poisson-folyamat beérkezési rátája
• $1/\mu$ az S időeloszlás várható értéke
• $\rho =\lambda /\mu$ a kihasználás
• Var(S) az S szolgáltatási idő eloszlásának szórásnégyzete

Ahhoz, hogy az átlagos sorbanállási hossz véges legyen, szükséges, hogy $\rho <1$ legyen, máskülönben a feladatok gyorsabban érkeznének, mint ahogy elhagyják a sort. A ‘forgalom intenzitás’ 0 és 1 között van, és ez egy átlagos része annak az időnek, amikor a kiszolgáló foglalt. Ha a beérkezési ráta ${\lambda }_a$ nagyobb vagy egyenlő a ${\lambda }_s$ szolgálati rátával, akkor a sorbanállási késleltetés (várakozás) végtelen lesz.

Átlagos várakozási idő

Ha vesszük W-t, annak az átlagos időnek, amíg az ügyfél várakozik a sorban, akkor $W=W^{\prime }+{\mu }^{-1}$, ahol $W^{\prime }$ az átlagos várakozási idő, és $\mu$ a szolgáltatás ideje. Felhasználva a Little-törvényt, mely szerint:

$L=\lambda W$

ahol

• L az átlagos sor hossz
• $\lambda$ A Poisson-folyamat beérkezési rátája
• W az átlagos idő (várakozás és kiszolgálás),

így:

$W=\frac{\rho +\lambda \mu \text{Var}(S)}{2(\mu -\lambda )}+{\mu }^{-1}.$

Végül írható egy kifejezés az átlagos várakozási időre:

$W^{\prime }=\frac{L}{\lambda }-{\mu }^{-1}=\frac{\rho +\lambda \mu \text{Var}(S)}{2(\mu -\lambda )}.$

Irodalom

• Pollaczek, F: Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie. (hely nélkül): Mathematische Zeitschrift 32:. 1930. 64–100. o.  
• Khintchine, A. Y: Mathematical theory of a stationary queue. (hely nélkül): Matematicheskii Sbornik 39 (4):. 1932. 73–84. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• http://www.cse.fau.edu/~bob/publications/CNS.4h.pdf
• Poisson-folyamat
• Sorbanállás-elmélet
• Erlang
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• M/G/1-típusú sorbanállás
• Statisztika