Másodfokú függvény

$f(x)=x^2-x-2$

A másodfokú függvény, más néven kvadratikus függvény vagy másodfokú polinom egy olyan matematikai függvény, amelynek legmagasabb hatványú tagja másodfokú. A másodfokú függvény grafikonja általában egy parabola, melynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Alakja attól függ, hogy a függvény milyen előjelű másodfokú taggal rendelkezik. Ha a másodfokú tag előjele pozitív, akkor a parabola lefelé nyitva van, ha pedig negatív, akkor felfelé nyitva van.

Általános tudnivalók

Az egyváltozós másodfokú függvény általános alakja :$f(x)=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$. Adva lehet $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$ tényezős alakban, ahol r₁ és r₂ a függvény gyökei, vagy $f(x)=a(x-h{)}^2+k$ csúcsponti formában, ahol h és k a csúcspont x és y koordinátái. Az általános alakról a tényezős alakra a megfelelő egyenlet megoldásával, a csúcsponti formára kiemeléssel és teljes négyzetté alakítással lehet áttérni. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy $a{x}^2+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is. Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $a\ne 0$ melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk: $f(x)=(dx+e{)}^2+f$.

Különböző diszkriminánsú másodfokú függvények (itt Δ jelöli a diszkriminánst):
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Zérushelyek száma

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából ($D$) következik ($D=b^2-4ac$):

• ha $D>0$, akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
• ha $D=0$, akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
• ha $D<0$, akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Grafikon

$f(x)=a{x}^2{|}_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}$

$f(x)=x^2+bx{|}_{b=\{1,2,3,4\}}$

$f(x)=x^2+bx{|}_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}$

Az $y=a{x}^2+bx+c$ standard formájú másodfokú függvény parabolája:

• Ha a > 0, akkor a parabola felfelé nyitott, a függvény konvex
• Ha a < 0, akkor a parabola lefelé nyitott, a függvény konkáv

Az a főegyüttható kapcsolódik a parabola paraméteréhez: a nagyobb abszolútértékű a meredekebbé teszi a parabolát. Azonban, mivel a grafikon nem egyenes, azért ez nem meredekség, azt a derivált adja meg: $y=2ax+b$. A szimmetriatengelyt a b és az a együtthatók határozzák meg. Ennek helye megegyezik a csúcspont x koordinátájával és a csúcsponti alak h paraméterével:

$x=-\frac{b}{2a}.$

A c konstans tag az y tengelymetszet magassága.

Csúcspont

A parabola csúcspontja az a pont, ahol a parabola monotonitást vált: csökkenőből növekvővé, vagy növekedőből csökkenővé fordul. A csúcspont a másodfokú függvény szélsőértékhelye, illetve szélsőértéke. Ha a < 0, akkor maximum, ha a > 0, akkor minimum. Koordinátái a csúcsponti egyenletből olvashatók le:: (h, k). Az $f(x)=a{x}^2+bx+c$ standard formából a (h, k) koordináták a főegyüttható kiemelésével és teljes négyzetté kiegészítésével a következő formára hozható:

$\begin{array}{rl}f(x)& =a{x}^2+bx+c\\ & =a(x-h{)}^2+k\\ & =a{(x-\frac{-b}{2a})}^2+(c-\frac{b^2}{4a}),\\ \end{array}$

Tehát a (h, k) csúcspont a standard formából kapható, mint:

$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}).$

Az $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$ tényezős alakból a csúcspont x koordinátája, melynek behelyettesítésével megkapható az y koordináta is:

$(\frac{r_1+r_2}{2},f\left(\frac{r_1+r_2}{2}\right)).$

Az $x=h=-\frac{b}{2a}$ függőleges egyenes a parabola tengelye.

Analízis

Az $y=a{x}^2+bx+c$ standard formájú másodfokú függvény szélsőértéke is meghatározható az $y=2ax+b$ deriváltja segítségével. A függvény szélsőértéke ott van, ahol a derivált értéke nulla. A derivált elsőfokú, így egyetlen gyöke: $x=-\frac{b}{2a}$ és a hozzá tartozó függvényérték:

$f(x)=a{(-\frac{b}{2a})}^2+b(-\frac{b}{2a})+c=c-\frac{b^2}{4a},$

Ezzel újra a csúcspont koordinátáihoz jutunk:

$(h,k)=(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}).$

$x=-\frac{b}{2a}$

Az alapfüggvény jellemzése

A másodfokú függvény ($f(x)=x^2$) alapfüggvényének általános jellemzése:

• Értelmezési tartomány: $D_f:x\in \mathbb{ℝ}$
• Értékkészlet: $R_f:y\in {\mathbb{ℝ}}^{+}\cup 0$
• Szélsőértékek (extrémumok):
  • x_min = 0;
  • y_min = 0;
  • x_max = ∅;
  • y_max = ∅.
• Zérushelyek: $x_1=0$
• Monotonitás:
  • $f(x)$ szigorúan monoton csökkenő az $x\in ]-\mathrm{\infty };0[$ nyílt intervallumon;
  • $f(x)$ szigorúan monoton növekvő az $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$ nyílt intervallumon.
• Paritás: páros függvény.
• Korlátosság: alulról korlátos.
• Előjeles alakulás:
  • $f(x)>0$ (vagyis $f(x)$ pozitív) az $x\in \mathbb{ℝ}$ tartományban;
  • $f(x)=0$, ha $x=0$
  • $f(x)<0$ (vagyis $f(x)$ negatív) az $x\in \mathrm{\varnothing }$ tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).
• Folytonosság: a folytonosság fennáll.
• Inflexiós pont(ok):

f ''(x₀) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

• Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.
• Deriváltjai:
  • $f^{\prime }(x)=2x$.
  • $f^{″}(x)=2$.
  • $f^{‴}(x)=0$.

A másodfokú függvények analízise általánosítva

A másodfokú függvény néhány lényeges pontja és koordinátáik

• Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója ($a$) pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha $a$ negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
• Zérushelyek:
  • száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
  • ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az $$\begin{gathered} x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac \\ }}{2a} \end{gathered}$$ képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).
  • a gyökök abszolútértéke nem nagyobb, mint $\frac{\max (|a|,|b|,|c|)}{|a|}\times \varphi ,$, ahol $\varphi$ az $\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$ aranymetszés.
• Paritás:
  • Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha $b=0$.
  • A függvény páratlan paritása kizárt.
  • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
• Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
• Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az $x$ tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

• Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az $x\in ]a;b[$ nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a $-\mathrm{\infty }$; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

• Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

• Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

• Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

A másodfokú függvények négyzetgyöke

A másodfokú függvények négyzetgyöke különböző kúpszeleteket írhat le, jellemzően hiperbolát vagy ellipszist. Ha $a>0$, akkor az $y=\pm \sqrt{a{x}^2+bx+c}$ egyenlet hiperbolát ír le. A tengelyek iránya az $y_p=a{x}^2+bx+c$ egyenletű parabola minimumpontjának ordinátájától függ. Ha ez negatív, akkor a hiperbola főtengelye vízszintes, ha pozitív, akkor függőleges. Ha $a<0$, akkor az $y=\pm \sqrt{a{x}^2+bx+c}$ egyenlet ellipszist, vagy üres ponthalmazt ír le. Speciális esetként kör is lehet. Ez attól függ, hogy az $y_p=a{x}^2+bx+c$ parabola maximumpontjának ordinátája milyen előjelű. Ha pozitív, akkor van ellipszis, ha negatív, akkor nincs.

Kétváltozós másodfokú függvény

Egy kétváltozós másodfokú függvény alakja

$f(x,y)=A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+Exy+F$

ahol A, B, C, D, E rögzített együtthatók, és F konstans tag. Grafikonja másodrendű felület, melynek metszete az $z=0$ síkkal kúpszelet. Így lesz a kúpszeletek egyenlete kétváltozós.

• Ha $4AB-E^2<0$, akkor a függvény képe hiperbolikus paraboloid, szélsőértékek nincsenek.
• Ha $4AB-E^2>0$, akkor a függvény képe elliptikus paraboloid. A függvénynek minimuma van, ha A>0, és maximuma, ha A<0. Jelölje a szélsőérték helyét és értékét $(x_m,y_m)$, ekkor:

• $x_m=-\frac{2BC-DE}{4AB-E^2},$
• $y_m=-\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}.$

• Ha $4AB-E^2=0$ és $DE-2CB=2AD-CE\ne 0$ akkor a függvény képe parabolikus henger, szélsőértékek nincsenek.
• Ha $4AB-E^2=0$ és $DE-2CB=2AD-CE=0$ akkor a függvény képe parabolikus henger, és szélsőértékét egy egyenes mentén veszi fel. Ez minimum, ha A>0, és maximum, ha A<0.

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Másodfokú függvény témájú médiaállományokat.

• Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0 
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest (2006). ISBN 978 963 2790 114 
• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratic function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.