Szélsőérték

A matematikában valamely függvény szélsőértékének nevezzük értelmezési tartományának valamely nyílt halmazzal vett metszetére vett leszűkítésének értékkészletének, illetve annak abszolútértékének maximumát és minimumát.

Valós függvény szélsőértéke

Globális szélsőérték

Ha f valósokon értelmezett valósértékű függvény, akkor f globális vagy abszolút szélsőértékeinek nevezzük értelmezési tartományának maximumát illetve minimumát. Pl.: a $sinx$ függvény maximuma az 1, amit az $x=(2k+\frac{1}{2})\pi (k\in \mathbb{\mathbb{Z}})$ helyeken vesz fel, és minimuma -1, amit pedig az $x=(2k-\frac{1}{2}+2k)\pi (k\in \mathbb{\mathbb{Z}})$ helyeken vesz fel.

Weierstrass-tétel

Weierstrass tétele kimondja, hogy minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik mindkét abszolút szélsőértéke.

Lokális szélsőérték

y f függvény lokális vagy helyi szélsőértéke, ha létezik olyan $I$ nyílt halmaz, f-nek amire vett leszűkítésének y abszolút szélsőértéke. Pl.:$x\cdot \sin x$ lokális minimuma 0 a 0 helyen.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges feltétele

Egy Fermat-tól származó tétel kimondja, hogy differenciálható függvény helyi szélsőértékéhez húzott érintő párhuzamos az abszcissza-tengellyel, azaz, ha f teljes értelmezési tartományában differenciálható, akkor lokális szélsőértékeit csak azokon az x helyeken veheti fel, ahol $f^{\prime }(x)=0$.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges és elegendő feltétele

Legyen $fn$-edik deriváltja $x\in Domf$ egy $K$ környezetében folytonos, és $f^{\prime }(x)=\cdots =f^{(n-1)}(x)=0$, továbbá $f^{(n)}(x)\ne 0$. Ekkor $fx$ helyen pontosan akkor veszi fel lokális szélsőértékét, ha $n$ páros, mégpedig, és ha létezik szélsőérték, abban az esetben, ha $f^{(n)}(x)>0$, minimuma van, ellenkező esetben pedig maximuma.

Bizonyítás

A Taylor-formula szerint $K$ minden $x+h$ pontjához létezik olyan $\mathrm{\Theta }\in [0,1]$, hogy

$f(x+h)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}{h}^k+\frac{f^{(n)}(x+\mathrm{\Theta }h)}{n!}{h}^n=f(x)+\frac{f^{(n)}(x+\mathrm{\Theta }h)}{n!}{h}^n$, azaz

$f(x+h)-f(x)=\frac{f^{(n)}(x+\mathrm{\Theta }h)}{n!}{h}^n$

Legyen $f^{(n)}(x)>0$, ekkor $f^{(n)}$ folytonossága miatt létezik olyan $\epsilon >0$, hogy minden $\epsilon >|a|$-ra $f^{(n)}(x+a)>0$. Tegyük fel, hogy $n$ páros, $|h|<\epsilon$, és $\mathrm{\Theta }h=a$, ekkor

$0<\frac{f^{(n)}(x+a)}{n!}{h}^n=\frac{f^{(n)}(x+\mathrm{\Theta }h)}{n!}{h}^n=f(x+h)-f(x)$, azaz $f(x)<f(x+h)$, következésképp $f$-nek $x$ helyen lokális minimuma van. Ha $n$ páratlan, akkor, ha $0<h<\epsilon$, akkor $f(x)<f(x+h)$, ha viszont $-\epsilon <h<0$, akkor $f(x)>f(x+h)$ így $x$ helyen a függvénynek nincs szélsőértéke. $f^{(n)}(x)<0$ esetben a maximum létezése, ill. nem létezése nagyon hasonlóan látható be.