Négyzetgyök 2

Az egységnyi oldalú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának hossza négyzetgyök 2

A négyzetgyök kettő, más néven Püthagorasz-állandó, ami felírva:

$\sqrt{2}$

vagy törtkitevős hatványként

$2^{\frac{1}{2}}$

egy pozitív, valós szám, melyet önmagával szorozva 2-t kapunk. Az első 65 tizedesjegye a következő (A002193 sorozat az OEIS-ben):

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

A √2 valószínűleg az elsőként megismert irracionális szám. A geometriai jelentősége az, hogy ez a hossza az egységnyi oldalú négyzet átlójának, illetve egy egységnyi oldalú kocka lapátlójának, ami levezethető a Pitagorasz-tételből.

Irracionális számok $\sqrt{2}$
Bináris	1,0110101000001001111…
Decimális	1,4142135623730950488…
Hexadecimális	1,6A09E667F3BCC908B2F…
Lánctörtes alakban	$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}$

Az ezüstmetszés arányszáma

$1+\sqrt{2}.$

Történet

Az YBC 7289-es babiloni agyagtábla jegyzetekkel

A Yale Egyetem babiloni gyűjteményében található 7289-es számú agyagtábla (i. e. 1800-1600-ból) már közelítő értéket ad a $\sqrt{2}$-re a babiloniak által használt hatvanas számrendszerben, hat tizedesjegy pontossággal:

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1,41421\overline{296}.$

Ennek a számnak egy másik korai közelítését az ősi indiai matematikai szövegek adják, a következőképp: Növeljük az oldal hosszát a harmadával, azután a harmadának a negyedével, majd csökkentsük a negyedének a harmincnegyedével. Tehát:

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}\approx 1,414215686.$

Az irracionális számok felfedezését általában Püthagorasz egyik tanítványának, a metapontumi Hippaszosznak tulajdonítják, aki elkészítette az első (valószínűleg geometriai) bizonyítást a gyök 2 irracionalitására. Egy legenda szerint Pitagorasz hitt a számok teljességében, és nem tudta elfogadni az irracionális számok létezését. Nem tudta megcáfolni a létezésüket logikai úton, de a hite miatt nem tudta elfogadni irracionális számok létezését, ezért fulladásos halálra ítélte Hippaszoszt. Más legendák szerint Hippaszoszt megfojtotta Pitagorasz néhány tanítványa, vagy csupán kizárták a körükből.

Kiszámítási algoritmus

Számos módszer van a √2 közelítő értékének számolására, melyek a kifejezéseket egész számok arányaként, vagy tizedestörtként közelítik meg. Erre a legegyszerűbb algoritmus, amely sok számítógép és számológép alapja, a babiloni módszer a négyzetgyök számolására. Ez a következőképp működik: Először vegyünk egy tetszőleges becslést. A becslés pontossága nem számít, csak azt befolyásolja, hányszor kell megismételni a lépéseket, hogy elérjünk egy bizonyos pontosságú közelítést. Ezután használhatjuk a becslésünket a következő rekurzív számításban:

$F_{n+1}=\frac{F_n+\frac{2}{F_n}}{2}.$

Minél több ismétlés van az algoritmusban (egyre több számolást kell elvégezni, egyre nagyobb n-nel), annál jobb becslést kapunk a √2 közelítő értékére. 1997-ben Kanada Jaszumasza csapatával 137 438 953 444 tizedesjegyig számolta ki a √2 közelítő értékét. 2006 februárjában a rekordot túlszárnyalták egy otthoni számítógépen. Kondó Sigeru az első 200 000 000 000 tizedesjegyét számolta ki a √2-nek, alig 13 nap és 14 óra kellett hozzá egy 3,6 GHz-es PC-vel, 16 GB memóriával.

Irracionalitásának bizonyítása

Indirekt bizonyítás

Az indirekt bizonyítás azt jelenti, hogy feltesszük, hogy az állításunk tagadása igaz, majd átalakításokkal nyilvánvaló ellentmondást kapunk, tehát a tagadás hamis, ezért az eredeti állítás igaz.

1. Tegyük fel, hogy a $\sqrt{2}$ egy racionális szám, tehát léteznek $a$ és $b$ egészek, hogy $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$.
2. Akkor lehet felírni $\sqrt{2}$-t tovább nem egyszerűsíthető törtként, ha $a$ és $b$ relatív prímek, valamint ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=2$.
3. Ebből következik, hogy $\frac{a^2}{b^2}=2$ és a² = 2 b². ((a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ)
4. Tehát, a² páros, mert egyenlő 2 b²-tel.
5. Ebből következik, hogy a is páros, mert csak a páros számoknak páros a négyzetük.
6. Mivel a páros, létezik k egész szám, ami teljesíti, hogy a = 2k.
7. Behelyettesítve 2k-t a (6). lépésből a (3). lépés második egyenlőségébe: 2b² = (2k)², ami megegyezik 2b² = 4k², ami megegyezik b² = 2k².
8. Mivel 2k² osztható 2-vel, és 2k² = b², ezért b² szintén osztható 2-vel, tehát b is.
9. Az (5). és (8). lépésből tudjuk, hogy a és b is párosak, ami ellentmond annak, hogy relatív prímek, ahogy azt megállapítottuk a (2). lépésben.

Q. E. D.

Mivel van ellentmondás, az (1)-es feltétel, hogy a $\sqrt{2}$ racionális szám, hamis. Az állítás be van bizonyítva: $\sqrt{2}$ irracionális. Ennek a bizonyításnak az általánosításával bármelyik természetes szám négyzetgyökéről el tudjuk dönteni, hogy racionális vagy irracionális.

Bizonyítás végtelen leszállással

Lásd itt: Végtelen leszállás#Példák

Bizonyítás prímtényezős felbontással

Ez a bizonyítás hasonló az előzőhöz, de a számelmélet alaptételét alkalmazza:

1. Tegyük fel, hogy a $\sqrt{2}$ egy racionális szám, tehát léteznek $a$ és $b$ egészek, hogy $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$.
2. Ebből következik, hogy $\frac{a^2}{b^2}=2$ és $a^2=2b^2$.
3. A számelmélet alaptételéből következik, hogy a-nak és b-nek egyértelműen létezik prímtényezős felbontása, amit fel lehet írni a = 2^xk és b = 2^ym alakban, ahol x és y nemnegatív egészek, m és k pedig páratlan nemnegatív egészek.
4. Tehát a² = 2^2xk² és b² = 2^2ym².
5. Ha ezt behelyettesítjük a (3). lépésbe, akkor azt kapjuk, hogy 2^2xk² = 2·2^2ym² = 2^2y+1m².
6. Tehát azt állítjuk, hogy egy prímtényezős felbontás, amelyben 2 páros kitevőjű hatványa van (a kitevő 2x) megegyezik egy olyannal, amelyben a 2 páratlan kitevőjű hatványa szerepel (a kitevő 2y+1). Ez ellentmond az egyértelmű prímfelbontásnak, tehát az indirekt feltevés hamis volt.

Egy másik bizonyítás

A következő reductio ad absurdum egy kevésbé jól ismert bizonyítása a $\sqrt{2}$ irracionalitásának. Azt a további információt használja, hogy $\sqrt{2}>1$.

1. Tegyük fel, hogy $\sqrt{2}$ racionális szám, tehát léteznek m és n egészek, ahol n ≠ 0, hogy $\frac{m}{n}=\sqrt{2}$.
2. Tehát √2-t fel lehet írni $\frac{m}{n}$ tovább nem egyszerűsíthető törtként, ahol m és n pozitív egészek, mert $\frac{m}{n}=\sqrt{2}$.
3. $\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot n(\sqrt{2}-1)}{n(\sqrt{2}-1)}=\frac{2n-\sqrt{2}n}{\sqrt{2}n-n}=\frac{2n-m}{m-n},\text{ mivel }\sqrt{2}n=m.$
4. $\sqrt{2}>1$, ebből következik, hogy m > n, tehát m > 2n – m.
5. Tehát az $\frac{m}{n}$ törtet, amiről a (2). lépésből tudjuk, hogy nem lehet tovább egyszerűsíteni, a (3). lépésben egyszerűsítjük. Ez ellentmondás, tehát az állítás, hogy a $\sqrt{2}$ racionális, hamis.

Geometriai bizonyítás

(A kép adatai)

Ez szintén egy példa a végtelen leszállással történő bizonyításra. Alkalmazzuk benne a klasszikus szerkesztést, a tétel bizonyításának ez a módja egyszerűbb, mint amit az ókori görögök alkalmaztak. Legyen ABC egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, az átfogó hossza m, a befogóké n. A Pitagorasz-tétel miatt m/n = √2. Tegyük fel, hogy m és n egész számok. Legyen az m:n arány egyszerűsítve. Rajzoljunk A középpontú m és n sugarú köríveket. A kapott metszéspontok a szárakon D és E. Ebből következik, hogy AB = AD, AC = AE és ∠BAC and ∠DAE szögek egybevágóak. Tehát az ABC és ADE háromszögek egybevágóak, mert megegyezik 2 oldaluk és az általuk közbezárt szög. Mivel ∠EBF szög derékszög, és ∠BEF pedig a derékszög fele (45°) BEF szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ezért BE = m ‒ n, tehát BF = m ‒ n. A szimmetria miatt DF = m ‒ n, és FDC szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ebből következik: FC = n ‒ (m ‒ n) = 2n ‒ m. Tehát van egy kisebb egyenlő szárú derékszögű háromszögünk, átfogójának hossza 2n ‒ m, a befogóké pedig m ‒ n. Ezek az értékek szintén egészek, arányuk megegyezik m és n arányával, ez ellentmond annak az állításnak, hogy m:n egyszerűsítve van. m és n tehát nem lehetnek egészek, ezért √2 irracionális.

A négyzetgyök 2 tulajdonságai

A gyök 2 fele, ami közelítve 0.70710 67811 86548, egy közös mennyisége a geometriának és a trigonometriának, mert ha az egységvektor a síkon 45°-os szöget zár be a tengelyekkel, akkor a koordinátái:

$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}).$

És ez kielégíti, hogy

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos (45^{\circ })=\sin (45^{\circ }).$

Egy érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek a következő:

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1.$

Ez az ezüstmetszés egyik tulajdonságának a következménye. Másik érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}\cdots }}=2$

A négyzetgyök 2 kifejezhető az i képzetes egység segítségével, a négyzetgyökvonást, és a számtani műveleteket használva:

$\frac{\sqrt{i}+i\sqrt{i}}{i}$ és $\frac{\sqrt{-i}-i\sqrt{-i}}{-i}.$

Előállítás sorokkal és produktummal

A $\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ azonosság, és a szinusz és koszinusz végtelen szorzatként való előállításából következnek az alábbi egyenletek:

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(4k+2{)}^2})=(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{36})(1-\frac{1}{100})\cdots$

és

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k+2{)}^2}{(4k+1)(4k+3)}=\left(\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\right)\left(\frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\right)\left(\frac{10\cdot 10}{9\cdot 11}\right)\left(\frac{14\cdot 14}{13\cdot 15}\right)\cdots$

vagy ezzel ekvivalens,

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{4k+1})(1-\frac{1}{4k+3})=(1+\frac{1}{1})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})\cdots .$

A szám kifejezhető trigonometrikus függvények Taylor-sor alakban történő felírásával. Például cos(π/4) sora adja a következőt:

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{2k}}{(2k)!}.$

A $\sqrt{1+x}$ Taylor-sora x = 1 esetben a következő:

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots .$

A sorok konvergenciája gyorsítható Euler-transzformációval, előállítva

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k+1)!}{(k!{)}^2{2}^{3k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{15}{64}+\frac{35}{256}+\frac{315}{4096}+\frac{693}{16384}+\cdots .$

Előállítása lánctörttel

A négyzetgyök 2 a következő lánctörtként áll elő:

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}.$

A papír mérete

Gyök 2 kerekített értéke a papír oldalainak aránya az ISO 216-os szabványban. Ez az arány biztosítja, hogy ha félbevágunk egy lapot a rövidebb oldallal párhuzamosan, akkor a kapott papírok oldalainak aránya megegyezik az eredeti papír oldalainak arányával. Valóban, ha egy téglalap oldalai $x$ és $x\sqrt{2}$, akkor a felének az oldalai $x$ és $x\sqrt{2}/2$, az utóbbi megegyezik $x/\sqrt{2}$-vel. Ennek következtében, a hosszú oldal ($x$) és a rövid oldal ($x/\sqrt{2}$) aránya ismét $\sqrt{2}$.

Kapcsolódó szócikkek

• Gyökvonás
• Háromszög

Külső hivatkozások

• √2.net Archiválva 2021. június 30-i dátummal a Wayback Machine-ben, valós idejű számolás
• A négyzetgyök 2 első 5 millió számjegye (Jerry Bonnell és Robert Nemiroff, 1994.)
• A négyzetgyök 2 irracionális, bizonyítások gyűjteménye

Források

• Apostol, Tom M. (2000. November). „Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof”. The American Mathematical Monthly 107 (9), 841–842. o. DOI:10.2307/2695741. 
• Flannery, David. The Square Root of Two. Springer (2005). ISBN 0-387-20220-X 
• Fowler, David, Eleanor Robson (1998. November). „Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context”. Historia Mathematica 25 (4), 366–378. o. [2006. szeptember 3-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.1006/hmat.1998.2209. 
• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of $\sqrt{2}$.
• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra
• Weisstein, Eric W.: Pythagoras's Constant (angol nyelven). Wolfram MathWorld