Négyzetmentes szám

A számelméletben a négyzetmentes számok azok a természetes számok, amelyek nem oszthatók 1-nél nagyobb szám négyzetével. Az első néhány négyzetmentes szám:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, …

Tulajdonságaik

Egy n természetes szám pontosan akkor négyzetmentes, ha prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel. Úgy is mondhatjuk, hogy n különböző prímek szorzata. Hogyha p prím, és osztója n-nek, akkor p nem osztója n/p-nek. Egy további ekvivalens meghatározás, hogy ha n=ab, akkor a és b relatív prímek. A μ(n) Möbius-függvény pontosan akkor nem 0, ha n négyzetmentes. Egy egész szám radikálja mindig négyzetmentes. Egy egész szám akkor és csak akkor egyezik meg radikáljával, ha négyzetmentes. Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha minden n rendű Abel-csoport izomorf. Az izomorfia erejéig egyértelmű csoport ciklikus. Ez a végesen generált Abel-csoportok alaptételének következménye. Egy n szám akkor és csak akkor négyzetmentes, ha a Z / nZ gyűrű testek szorzata. Ez következik a kínai maradéktételből és abból következik, hogy Z / kZ akkor és csak akkor test, ha k prím. Minden pozitív számra a szám pozitív osztói disztributív hálót alkotnak az oszthatósággal, mint rendezéssel. Ez akkor és csak akkor Boole-algebra, ha a szám négyzetmentes.

Dirichlet-generátorfüggvény

A négyzetmentes számok Dirichlet-generátorfüggvénye

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}$ ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény.

Ez látható az Euler-szorzatból:

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\prod _p\frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod _p(1+p^{-s}).$

A négyzetmentes számok eloszlása

Ha Q(x) jelöli a négyzetmentes számok számát 1 és x között, akkor

$Q(x)=\frac{6x}{{\pi }^2}+O(\sqrt{x})$

(lásd π és O jelölés). A négyzetmentes számok sorozatának sűrűsége tehát

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q(x)}{x}=\frac{6}{{\pi }^2}=\frac{1}{\zeta (2)}$

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Ezt 1885-ben Gegenbauer bizonyította. Ebből az is levezethető, hogy végtelen sokszor teljesül, hogy 3 egymásutáni pozitív egész mindegyike négyzetmentes. Bizonyítás: tegyük fel indirekten, hogy ez nem igaz, ekkor $4n,4n+1,4n+2,4n+3$ közül az első biztos nem négyzetmentes, hiszen osztható 4-gyel, a másik három közül pedig csak legfeljebb 2 lehet négyzetmentes az indirekt feltevés miatt, de akkor a négyzetmentes számok sűrűsége legfeljebb $\frac{2}{4}$ lenne, ami kisebb, mint $\frac{6}{{\pi }^2}$. Az ellentmondás bizonyítja az állítást. Hasonlóan, ha Q(x,n) jelöli az n-edik hatványmentes számok számát x-ig, akkor

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q(x,n)}{x}=\frac{1}{\zeta (n)}.$

Kódolás bináris számokként

A négyzetmentes számok felírhatók, mint:

$\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p_{n+1}}^{a_n},a_n\in \{0,1\},\text{ és }{p}_n\text{ az }n\text{. prím}.$

Tekinthetjük az $a_n$ számokat egy kettes számrendszerbeli szám jegyeinek:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cdot 2^n$

Például a 42 négyzetmentes, és felbontása 2 × 3 × 7; végtelen szorzatként  · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13⁰ · ...; Így a megfelelő kettes számrendszerbeli szám ...001011, ami tízes számrendszerben 11. A számelmélet alaptétele kimondja, hogy egy egész prímtényezős felbontása lényegében egyértelmű, ezért a fenti kódolás is egyértelmű. Megfordítva, minden pozitív egész szám dekódolható négyzetmentes számként, mivel a kettes számrendszerbeli reprezentáció is egyértelmű. Például, ha most ismét a 42-ből indulunk ki, akkor ennek kettes számrendszerbeli alakja 101010. Innen a hozzá rendelt négyzetmentes szám 2⁰ · 3¹ · 5⁰ · 7¹ · 11⁰ · 13¹ = 3 × 7 × 13 = 273. A dekódolt négyzetmentes számok nagysága alapján a pozitív egészek permutációját kapjuk. Lásd A019565, A048672 és A064273.

Sejtések

Erdős sejtette, hogy a középső binomiális együttható:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$

n>4 esetén sohasem négyzetmentes. Elég nagy egészekre belátta Sárközy András 1985-ben, és 1996-ban igazolta Olivier Ramaré és Andrew Granville. Egy ma még nyitott sejtés szerint minden Fermat-szám négyzetmentes.

Négyzetmentes mag

A ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}_t(n)$ multiplikatív függvény a pozitív egész számokhoz (n) a t-mentes számokat rendeli, ahol a prímhatványok kitevőit modulo t tekinti:

${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}_t(p^e)=p^{emodt}.$

Speciálisan, a ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}_2$ értékkészlete a négyzetmentes számokból áll. Dirichlet-generátorfüggvényük

$\sum _{n\ge 1}\frac{{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}_t(n)}{n^s}=\frac{\zeta (ts)\zeta (s-1)}{\zeta (ts-t)}$.

Az OEIS-ben  A007913 (t=2),  A050985 (t=3) és  A053165 (t=4).

Források

• (1996) „Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients”. Mathematika 43, 73–107. o. DOI:10.1112/S0025579300011608. 
• Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 0-387-20860-7 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Square-free integer című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.