Origón átmenő sík

Három origón átmenő sík (zölddel, sárgával, szürkével) és egy origón átmenő egyenes (kékkel)

A matematikában az origón átmenő sík egy olyan sík, ami átmegy egy adott Descartes-féle koordináta-rendszer origóján. A koordináta-rendszerben kitüntetettek a koordinátasíkok. A többi síkhoz képest kompaktabb egyenlettel írhatók le, ami egyszerűsíti a metszet- és a távolságszámításokat is. Azok a vektorok, amelyek egy origón átmenő síkban fekszenek, kétdimenziós alteret alkotnak.

Definíció

A koordinátageometriában egy sík a háromdimenziós euklideszi tér pontjainak egy részhalmaza. Egy origón átmenő sík tartalmazza a rögzített Descartes-féle koordináta-rendszer $(0,0,0)$ origóját. Egy origón átmenő sík egyenlete

$ax+by+cz=0$

alakú, ahol $a,b$ és $c$ valós paraméterek, amelyek nem mind nullák.

Vektoriális ábrázolás

Az origón átmenő síkok is ábrázolhatók vektoregyenletekkel, ahol a sík minden pontját $\overrightarrow{x}\in {\mathbb{ℝ}}^3$ helyvektorával ábrázoljuk. Az egyenlet paraméteres alakja:

$\overrightarrow{x}=s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}$   ahol   $s,t\in \mathbb{ℝ}$

ahol $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$ a sík két lineárisan független vektora. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, amelyek helyvektorai előállnak két adott vektor lineáris kombinációjaként. A sík egyenletének normálformája háromdimenziós térben:

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=0$

ahol $\overrightarrow{n}$ a sík normálvektora, és $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}$ két vektor skalárszorzata. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, melyek helyvektorai ortogonálisak az adott normálvektorra. Ha egy origón átmenő sík paraméteres alakban van megadva, akkor egy normálvektora az $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ vektoriális szorzattal számítható ki.

Példák

Koordinátasíkok három dimenzióban

A legalapvetőbb példák a koordinátasíkok:

$E_{12}:z=0$   illetve   $\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_1+t{\overrightarrow{e}}_2$    illetve    ${\overrightarrow{e}}_3\cdot \overrightarrow{x}=0$

$E_{13}:y=0$   illetvde   $\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_1+t{\overrightarrow{e}}_3$    illetve    ${\overrightarrow{e}}_2\cdot \overrightarrow{x}=0$

$E_{23}:x=0$   illetve   $\overrightarrow{x}=s{\overrightarrow{e}}_2+t{\overrightarrow{e}}_3$    illetve    ${\overrightarrow{e}}_1\cdot \overrightarrow{x}=0$

ahol ${\overrightarrow{e}}_1=(1,0,0)$, ${\overrightarrow{e}}_2=(0,1,0)$ és ${\overrightarrow{e}}_3=(0,0,1)$ egységvektorok.

Tulajdonságok

Metszet

Két különböző origón átmenő sík metszete mindig origón átmenő egyenes, vagyis egy

$\overrightarrow{x}=a\overrightarrow{u}$  ,   $a\in \mathbb{ℝ}$,

ahol $\overrightarrow{u}$ az egyenes irányvektora. Ha az origón átmenő síkok normálvektorai ${\overrightarrow{n}}_1$ és ${\overrightarrow{n}}_2$, akkor a metszésvonal egy irányvektora

$\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_1\times {\overrightarrow{n}}_2$

vagyis a normálvektorok vektoriális szorzata. Három, origón átmenő sík metszete akkor és csak akkor az origó, ha normálvektoraik lineárisan függetlenek. A tér három vektora lineárisan független, ha nincs olyan origón átmenő sík, ami tartalmazza.

Pont távolsága

Egy $\overrightarrow{v}$ helyvektorú pont távolsága egy $\overrightarrow{n}$ normálvektorú $U$ origón átmenő síktól számítható, mint:

$d(\overrightarrow{v},U)=\frac{|\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert }$,

ahol $\Vert \overrightarrow{n}\Vert$ az $\overrightarrow{n}$ vektor hossza. Ez a távolság a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és sík közötti szakaszának hossza. A $\overrightarrow{p}$ talppont helyvektora a $\overrightarrow{v}$ vektor merőleges vetülete az origón átmenő síkra, és számítható, mint:

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}-\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}}\overrightarrow{n}$

Pont tükrözése

Egy $\overrightarrow{v}$ helyvektorú pont tükörképe egy origón átmenő síkra úgy kapható, hogy a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és talppont közötti $\overrightarrow{p}-\overrightarrow{v}$ szakaszát megkétszerezzük. Ezzel egy $\overrightarrow{v}$ vektor $\overrightarrow{w}$ tükörképe

$\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}+2(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}-2\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}}\overrightarrow{n}$

ahol $\overrightarrow{n}$ ismét az origón átmenő sík normálvektora.

Vektortér struktúra

A háromdimenziós tér vektorainak halmaza vektorteret alkot, az euklideszi teret. Egy origón átmenő síkban levő vektorok az euklideszi tér alterét alkotják:

$U=\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid \overrightarrow{x}=s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}\text{,}s,t\in \mathbb{ℝ}\}=\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{ℝ}}^3\mid \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=0\}$.

Ez az altér éppen az origón átmenő síkot kifeszítő, egymástól lineárisan független $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$ vektorok lineáris burka, illetve a sík egy $\overrightarrow{n}$ normálvektorának lineáris burkának ortogonális komplementere. Az origón átmenő síkok pontosan az euklideszi tér kétdimenziós alterei. Minden $E$ síkhoz, ami nem tartalmazza az origót, létezik pontosan egy párhuzamos origón átmenő $U$ sík. Ezáltal minden $E$ sík az euklideszi tér affin altere:

$E=\overrightarrow{z}+U=\{\overrightarrow{z}+\overrightarrow{x}\mid \overrightarrow{x}\in U\}$

ahol $\overrightarrow{z}$ egy $E$-beli pont helyvektora.

Általánosítások

Általánosabban, magasabb dimenzióban is tekinthetők a síkok. Ekkor egy origón átmenő sík az ${\mathbb{ℝ}}^n$ tér egy kétdimenziós altere. Paraméteres alakja, mint három dimenzióban:

$\overrightarrow{x}=s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}$   ,   $s,t\in \mathbb{ℝ}$

ahol $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {\mathbb{ℝ}}^n$ lineárisan függetlenek. A megfelelő normálegyenlet:

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=0$

ahol $\overrightarrow{n}\in {\mathbb{ℝ}}^n$, origón átmenő hipersíkot definiál, melynek dimenziója $n-1$.

Források

• Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson. Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer (2006) 
• Mike Scherfner, Torsten Volland. Mathematik für das erste Semester. Springer (2012) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ursprungsebene című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.