Poincaré-féle követőfüggvény

Az absztrakt matematikában alapvetően a dinamikai rendszerek elméletében, Poincaré-féle követőfüggvény (vagy az első visszatérés függvénye) Henri Poincaré-ról elnevezett leképezés. Ha egy sokaságban egy periodikus pálya metszi a sokaság egy alterét, akkor ezt az alteret az első metszet helyéhez nagyon közel újból metszi. A következő helyet (a megelőző függvényében) nevezik a fenti leképezésnek. Másképpen képzeljünk el egy periodikus pályát azzal a kezdeti feltétellel, hogy a pont kezdetben egy a pályára merőleges síkon (az ún. Poincaré-féle metszeten) volt. Ekkor a pont egy idő múlva – a periódusidőhöz nagyon közeli idő alatt – a kiindulási ponthoz nagyon közel újból metszi a síkot. A Poincaré-féle követőfüggvény diszkrét dinamikai rendszernek tekinthető, csak eggyel kevesebb dimenzióval rendelkezik, mint az őt definiáló folytonos rendszer volt. Mivel a diszkrét rendszer az eredeti nagyon sok tulajdonságát megőrzi, de egyszerűbb, ezért alkalmas az eredeti rendszer hatékony vizsgálatára. Általában azonban követőrendszert nem könnyű konstruálni kézzelfogható alakban, ezért a módszer csak ad hoc jellegű.

Definíció

Legyen (R, M, Φ) be a egy globális dinamikai rendszer, az időpontok halmaza legyen R (valós számok), M a fázistér, és Φ az időfejlődés függvénye. Legyen γ p ponton keresztülhaladó periodikus pálya és S lokálisan differenciálható és a pályára merőleges metszete Φ-nek p-n keresztül, melyet Poincaré-metszetnek nevezünk. Legyen U nyílt összefüggő környezete p-nek, a

$P:U\to S$

függvényt γ-hoz tartozó Poincaré-követőfüggvénynek nevezzük ha

• P(p) = p
• P(U) p egy környezete és P:U → P(U) diffeomorfizmus
• minden x pontra U-ban, a pozitív félpálya először metszi S-et P(x)-ben

Differenciálegyenletek követőfüggvénye

A dinamikai rendszer mintapéldái a differenciálegyenletek megoldóoperátorai. Ezekben az esetekben a követőfüggvény még szemléletesebb tartalommal bír. Legyen

$\dot{x}=f(x)$

autonóm közönséges differenciálegyenlet, x₀ kezdeti feltétel a t=0-időponthoz. Legyen Γ periodikus pálya ${}_{{\tau }_0}$ > 0 minimális periódussal. Persze ekkor a Φ generált dinamikus rendszerre:

$\mathrm{\Phi }({\tau }_0,x_0)=x_0$

Legyen a pályára merőleges Poincaré-metszet a

$\mathrm{\Sigma }=\{x\in {\mathbf{R}}^n\mid ⟨x-x_0,f(x_0)⟩=0\}$

sík. Mivel f(x_0) a differenciálegyenlet értelmében sebességvektor az x₀ pontban, ezért a Σ tényeleg merőleges a pályára (<,> jelöli a skaláris szorzatot). Tétel – Létezik x₀-nak olyan U nyílt környezete, és létezik egyetlen olyan ${}_{\tau }$ : U $\to$ R folytonosan differenciálható függvény, hogy

$\mathrm{\Phi }(\tau (x),x)\in \mathrm{\Sigma }\mathrm{\forall }x\in U$

$\tau (x_0)={\tau }_0$

Bizonyítás. Legyen

$H(\tau ,x)=⟨\mathrm{\Phi }(\tau ,x)-x_0,f(x_0)⟩$

ekkor

$\mathrm{\Phi }(\tau ,x)\in \mathrm{\Sigma }⟺H(\tau ,x)=0$

Az implicitfüggvény-tétel segítségével kifejezzük a H(τ,x)=0 egyenletből τ-t. Ehhez kell, hogy ${}_{H{\text{'}}_{\tau }({\tau }_0,x_0)\ne 0}$ legyen. De ez igaz, mert:

$\frac{\partial H}{\partial \tau }({\tau }_0,x_0)={⟨{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(\tau ,x),f(x_0)⟩|}_{\tau ={\tau }_0,x=x_0}=⟨{\mathrm{\Phi }}^{\prime }({\tau }_0,x_0),f(x_0)⟩=⟨f(x_0),f(x_0)⟩$

ami feltehetően nem nulla. Tehát létezik egyetlen, a mondott tulajdonságú τ. QED Definíció. – Ebben az esetben az $\dot{x}=f(x)$ differenciálegyenlethez és a Γ, x₀, Σ-hoz tartozó Poincaré-követőfüggvény a

$\mathrm{\Pi }:U\cap \mathrm{\Sigma }\to \mathrm{\Sigma },x\mapsto \mathrm{\Phi }(\tau (x),x)$

leképezés és az ebből alkotott diszkrét lokális dinamikai rendszer időfejlődése:

$\mathrm{\Psi }:\mathbf{Z}\times U\to U,(n,x)\mapsto {\mathrm{\Pi }}^n(x)={\mathrm{\Phi }}^n(\tau (x),x)$

ahol a kitevőbeli n nem a hatványozás, hanem a Π saját magával n-szer vett függvénykompozíciójának jele.

Stabilitás

A fenti leképezésből diszkrét dinamikai rendszert készíthetünk a következőképpen. Ha

$P:U\to S$

a követőfüggvény, akkor legyen

$P^0:=i{d}_U$

$P^{n+1}:=P\circ P^n$

$P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}$

és

$P(n,x):=P^n(x)$

Ebben az esetben (Z, U, P) diszkrét dinamikai rendszer U-ban, az időfejlődés

$P:\mathbb{\mathbb{Z}}\times U\to U$

függvényével. Ebben a rendszerben p definíció szerint fixpont. A γ stabil (aszimptotikusan stabil) a folytonos rendszerben pontosan akkor, amikor a p fixpont stabil a diszkrétben. A γ stabil a folytonos rendszerben pontosan akkor, amikor a p fixpont stabil (aszimptotikusan stabil) a diszkrétben.

Külső hivatkozások

• Nicholas B. TUFILLARO, Poincaré Map (1997)
• Shivakumar JOLAD, Poincare Map and its application to 'Spinning Magnet' problem (2005)