Q-függvény

A matematikában és a statisztikában a Q-függvény a normális eloszlás farok valószínűsége.

Q-függvény

Más szavakkal, $Q(x)$ annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású változó nagyobb értéket vesz fel, mint $x$. Egy másik definíció szerint a kumulatív eloszlás függvény egyszerű transzformáltja. A normális eloszlás kumulatív eloszlási függvényéhez való kapcsolata miatt, a Q-függvény a hibafüggvény – mely fontos függvény a fizikában és a matematikában - kifejezéseivel is leírható.

Definíció és fő tulajdonságok

Formálisan, a Q-függvény definíciója:

$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{u^2}{2})du.$

így:

$Q(x)=1-Q(-x)=1-\mathrm{\Phi }(x),$

ahol $\mathrm{\Phi }(x)$ a normal Gauss eloszlás kumulatív eloszlás függvénye. A Q-függvény a hiba-függvény, vagy a komplementer hiba-függvény kifejezéseivel is leírható,

$Q(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(\frac{x}{\sqrt{2}}).$

A Q-függvény egy alternatív formája, mely jobban használható:

$Q(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\exp (-\frac{x^2}{2{\sin }^2\theta })d\theta .$

Ez a kifejezés csak pozitív $x$-ekre érvényes, de alkalmazható a $Q(x)=1-Q(-x)$ kifejezéssel együtt, a negatív értékekre. Ez a forma előnyös a véges integrálási tartományban.

Határok

A Q-függvény nem egy elemi függvény. A határai

$\frac{x}{1+x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}<Q(x)<\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},x>0,$

növekvő módon szorosak nagy x-ekre A $v=u^2/2$ behelyettesítést alkalmazva, és definiálva $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},$, a felső határ a következőképpen származtatható:

$\begin{array}{rl}Q(x)& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (u)du\\ & <\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u}{x}\phi (u)du=\underset{x^2/2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi }}dv=-\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi }}{|}_{x^2/2}^{\mathrm{\infty }}=\frac{\phi (x)}{x}.\end{array}$

Hasonlóan a ${\phi }^{\prime }(u)=-u\phi (u)$-t, és a hányadosszabályt használva

$\begin{array}{rl}(1+\frac{1}{x^2})Q(x)& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+\frac{1}{x^2})\phi (u)du\\ & >\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+\frac{1}{u^2})\phi (u)du=-\frac{\phi (u)}{u}{|}_x^{\mathrm{\infty }}=\frac{\phi (x)}{x}.\end{array}$

$Q(x)$ -re megoldva, adódik az alsó határ. A Q-függvény Chernov-korlátja:

$\begin{array}{r}Q(x)\le \frac{1}{2}{e}^{-\frac{x^2}{2}},x>0\end{array}$

Értékek

A Q-függvényt számos matematikai szoftver csomag közvetlenül számítja, mint például a Matlab, és a Mathematica. Néhány Q-függvény érték az alábbiakban látható:

Q(0.0) = 0.500000000 Q(0.1) = 0.460172163 Q(0.2) = 0.420740291 Q(0.3) = 0.382088578 Q(0.4) = 0.344578258 Q(0.5) = 0.308537539 Q(0.6) = 0.274253118 Q(0.7) = 0.241963652 Q(0.8) = 0.211855399 Q(0.9) = 0.184060125

Q(1.0) = 0.158655254 Q(1.1) = 0.135666061 Q(1.2) = 0.115069670 Q(1.3) = 0.096800485 Q(1.4) = 0.080756659 Q(1.5) = 0.066807201 Q(1.6) = 0.054799292 Q(1.7) = 0.044565463 Q(1.8) = 0.035930319 Q(1.9) = 0.028716560

Q(2.0) = 0.022750132 Q(2.1) = 0.017864421 Q(2.2) = 0.013903448 Q(2.3) = 0.010724110 Q(2.4) = 0.008197536 Q(2.5) = 0.006209665 Q(2.6) = 0.004661188 Q(2.7) = 0.003466974 Q(2.8) = 0.002555130 Q(2.9) = 0.001865813

Q(3.0) = 0.001349898 Q(3.1) = 0.000967603 Q(3.2) = 0.000687138 Q(3.3) = 0.000483424 Q(3.4) = 0.000336929 Q(3.5) = 0.000232629 Q(3.6) = 0.000159109 Q(3.7) = 0.000107800 Q(3.8) = 0.000072348 Q(3.9) = 0.000048096 Q(4.0) = 0.000031671

Irodalom

• Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L. - Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

További információk

• Normális eloszlás
• Gauss-féle hibafüggvény

További információk

• http://cnx.org/content/m11537/latest/
• https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html
• https://web.archive.org/web/20120403231129/http://wsl.stanford.edu/~ee359/craig.pdf