Gauss-féle hibafüggvény

A matematikában a hibafüggvény (Gauss-féle hibafüggvénynek is hívják) egy speciális, szigmoid (szigmoid-függvény) alakú (nem elemi) függvény, mely a valószínűségszámításban, a statisztika területén, és a parciális differenciálegyenleteknél fordul elő.

Hibafüggvény

Definíciója:

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt.$

(Ha x negatív, akkor negatív integrálként értelmezik az [x,0] tartományban). A komplementer hibafüggvény (jelölése: erfc) definíciója:

$\begin{array}{rl}\mathrm{erfc}(x)& =1-\mathrm{erf}(x)\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt.\end{array}$

Az imaginárius hibafüggvény (jelölése: erfi) definíciója:

$\mathrm{erfi}(z)=-i\mathrm{erf}(iz)$

A komplex hibafüggvény (jelölése: w(x)) (mint Faddeeva-függvényként is ismert) definíciója:

$w(x)=e^{-x^2}\mathrm{erfc}(-ix)=e^{-x^2}[1+i\mathrm{erfi}(x)]$

Hibafüggvény a gyakorlatban

A hibafüggvényt a méréselméletben használják (valószínűségszámítás és a statisztika területén, valamint a matematika más ágaiban is, ahol ez az elnevezés ragadt meg. A hibafüggvény kapcsolódik a kumulatív eloszláshoz $\mathrm{\Phi }$, a standard normális eloszlás integráljához (“haranggörbe”): $\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}(x/\sqrt{2})$ x ≥ 0 esetén, és

$\mathrm{\Phi }(x)=1-\mathrm{\Phi }(-x)$

x ≤ 0 esetén a hibafüggvény pozitív x értékekre $\frac{x}{\sigma \sqrt{2}}$ helyen megadja a mérés valószínűségét, a normális eloszlású hiba esetére, ahol a szórás $\sigma$, és a középértéktől való távolsága kisebb mint x. Ezt a függvényt a statisztikában használják bármely minta viselkedésének megbecsülésére, a népességgel kapcsolatban. Ez az alkalmazás hasonló a Q-függvényhez, mely kapcsolódik a hibafüggvény jellemzőihez.

Tulajdonságok

Az $\mathrm{erf}(-z)=-\mathrm{erf}(z)$ egyenlet azt jelenti, hogy a hibafüggvény úgynevezett páratlan függvény. Bármely z complex számra:  

$\mathrm{erf}(\bar{z})=\overline{\mathrm{erf}(z)}$

ahol $\bar{z}$ a $z$ komplex konjugáltja. Ábrázolás a komplex síkon

Integrandusz  exp(–z²)

ƒ = erf(z)

Az ábrákon az ƒ = exp(–z²) és ƒ = erf(z) integrandusok ábrázolása látható a komplex z-síkon. A Im(ƒ) = 0 szint vastag zöld vonallal látható. Az Im(ƒ) negatív egész értékeit vastag piros vonal jelzi. $\mathrm{\Im }(f)$ pozitív egész értékeit vastag kék vonal jelzi. Im(ƒ)=konstans köztes szintjeit vékony zöld vonal jeleníti meg. Az Re(ƒ) = konstans köztes szintjeit vékony piros vonalak ábrázolják negatív értékekre és vékony kék vonalak pozitív értékekre. A valós tengelyen erf(z) közelít z → +∞, és –1-nél z → –∞.

Taylor-sorok

A hibafüggvény egy úgynevezett teljes függvény: nincsenek szingularitásai (kivéve a végtelenben), és a Taylor-sora mindig konvergens. Az integrál meghatározását nem lehet zárt formában, elemi függvények kifejezéseivel elvégezni, de az $e^{-x^2}$ integrandusza Taylor-sorba fejthető lépésenként, és akkor a következő egyenletet kapjuk:

$$\begin{gathered} \mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}- \\ \cdots ) \end{gathered}$$

mely érvényes minden z komplex számra. A fenti sorozat iteratív megközelítése a következő formában hasznos lehet:

$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(z\prod _{k=1}^n\frac{-(2k-1)z^2}{k(2k+1)}\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z}{2n+1}\prod _{k=1}^n\frac{-z^2}{k}$

mert a $\frac{-(2k-1)z^2}{k(2k+1)}$ kifejezi a szorzót, mely a k^th -t (k + 1)^th-ba változtatja. A hibafüggvény +∞-nél pontosan 1 (lásd még Gauss integrál). A hibafüggvény deriváltja ebből a definícióból származik:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-z^2}.$

A hibafüggvény antideriváltja:

$z\mathrm{erf}(z)+\frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi }}.$

Inverz függvény

Az inverz hibafüggvényt Maclaurin-sornak is lehet definiálni:

${\mathrm{erf}}^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{2k+1}{\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}z\right)}^{2k+1},$

ahol c₀ = 1 és

$c_k=\sum _{m=0}^{k-1}\frac{c_m{c}_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}=\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\dots \}.$

Az inverz komplementer hibafüggvény:

${\mathrm{erfc}}^{-1}(1-z)={\mathrm{erf}}^{-1}(z).$

Elemi függvényekkel történő közelítés

Abramowitz és Stegun számos közelítő megoldást ad különböző pontossággal. Ez lehetővé teszi a felhasználónak, hogy kiválaszthassa a számára legalkalmasabb megközelítést. A következőkben növekvő pontosság mellett bemutatunk néhány közelítő megoldást:

$\mathrm{erf}(x)\approx 1-\frac{1}{(1+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4{)}^4}$    (maximális hiba: 5·10^–4)

ahol a₁=0.278393, a₂=0.230389, a₃=0.000972, a₄=0.078108

$\mathrm{erf}(x)\approx 1-(a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3)e^{-x^2},t=\frac{1}{1+px}$    (maximális hiba: 2.5·;10^–5)

ahol p=0.47047, a₁=0.3480242, a₂=-0.0958798, a₃=0.7478556

$\mathrm{erf}(x)\approx 1-\frac{1}{(1+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_6{x}^6{)}^{16}}$    (maximális hiba: 3·;10^–7)

ahol a₁=0.0705230784, a₂=0.0422820123, a₃=0.0092705272, a₄=0.0001520143, a₅=0.0002765672, a₆=0.0000430638

$\mathrm{erf}(x)\approx 1-(a_{1}t+a_2{t}^2+...+a_5{t}^5)e^{-x^2},t=\frac{1}{1+px}$    (maximális hiba: 1.5·10^–7)

ahol p=0.3275911, a₁=0.254829592, a₂=–0.284496736, a₃=1.421413741, a₄=–1.453152027, a₅=1.061405429 A fenti megközelítő megoldások x≥0 esetén érvényesek. Negatív x esetén, ki kell használni azt a tényt, hogy erf(x) egy páratlan függvény, s így erf(x)=–erf(–x). Egy másik megközelítés:

$\mathrm{erf}(x)\approx \mathrm{sgn}(x)\sqrt{1-\exp (-x^2\frac{4/\pi +a{x}^2}{1+a{x}^2})}$

ahol

$a=\frac{8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}\approx 0.140012.$

Ez a megközelítés igen nagy pontosságot ad a 0, és a végtelen szomszédságában, és a hiba kisebb, mint 0.00035 minden x-re. A a ≈ 0.147 értéket használva a maximális hiba lecsökken közel 0.00012-re. A megközelítést invertálni is lehet az inverz hiba függvény kiszámítására:

${\mathrm{erf}}^{-1}(x)\approx \mathrm{sgn}(x)\sqrt{\sqrt{{(\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln (1-x^2)}{2})}^2-\frac{\ln (1-x^2)}{a}}-(\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln (1-x^2)}{2})}$

Alkalmazás

Ha egy mérési sorozat eredményeit a normális eloszlás szórásával ($\sigma$) írjuk le, és a várható érték 0, akkor $\mathrm{erf}\left(\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\right)$ a valószínűsége, hogy egy egyszeri mérés –a and +a közé esik pozitív a esetén. Ez hasznos, például, egy digitális kommunikációs rendszer bithibaarányának megállapításánál. A hibafüggvény és a komplementer hibafüggvény, például, a hőegyenlet megoldásánál fordul elő, amikor a határérték probléma a Heaviside-függvény által adott.

Kapcsolódó függvények

A hibafüggvény lényegében azonos a standard normális kumulatív eloszlás függvénnyel (Φ), melyet programozási nyelvekben norm(x)-nek neveznek, és csak skálázásban, és fordításban különbözik. $\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{\frac{-t^2}{2}}dt=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)]=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(-\frac{x}{\sqrt{2}})$ vagy erf-, és erfc-re átrendezve:

$\begin{array}{rl}\mathrm{erf}(x)& =2\mathrm{\Phi }\left(x\sqrt{2}\right)-1\\ \mathrm{erfc}(x)& =2\mathrm{\Phi }(-x\sqrt{2}).\end{array}$

Következésképpen, a hibafüggvény szorosan kapcsolódik a Q-függvényhez, mely a normális eloszlás farok-eloszlása. A Q-függvény kifejezhető a hibafüggvény kifejezéseivel is:

$Q(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).$

A Φ inverze úgy is ismert, mint a normális kvantilis függvény, vagy a probit-függvény, és kifejezhető az inverz hibafüggvénnyel:

$\mathrm{probit}(p)={\mathrm{\Phi }}^{-1}(p)=\sqrt{2}{\mathrm{erf}}^{}(2p-1)=-\sqrt{2}{\mathrm{erfc}}^{}(2p).$

A standard normális cdf-et gyakran használják valószínűségszámításban és statisztikában, és a hibafüggvényt a matematika számos más ágában is alkalmazzák. A hibafüggvény a Mittag–Leffler függvény speciális esete, és kifejezhető, mint a Kummer-függvény:

$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)=\frac{2x}{\sqrt{\pi }}{}_1{F}_1(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2).$

Általánosított hibafüggvény

Általánosított hibafüggvény

Az általánosított hibafüggvény E_n(x):
szürke görbe: E₁(x) = (1 – e ^–x)/$\sqrt{\pi }$
piros görbe: E₂(x) = erf(x)
zöld görbe: E₃(x)
kék görbe: E₄(x)
sárga görbe: E₅(x). Néhány szerző tárgyalja a további általános függvényeket:^[forrás?]

$E_n(x)=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^n}dt=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}.$

Az általánosított függvényt egyenértékű módon fejezi ki x > 0 esetekre a gamma-függvény, és az inkomplett gamma-függvény.

$E_n(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n)(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)-\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n},x^n))}{\sqrt{\pi }},x>0.$

Így a hibafüggvény meghatározható az inkomplett gamma-függvény kifejezéseivel.

Komplementer hibafüggvény iterált integráljai

A komplementer hibafüggvény iterált integráljai:

${\mathrm{i}}^n\mathrm{erfc}(z)=\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{i}}^{n-1}\mathrm{erfc}(\zeta )\mathrm{d}\zeta .$

hatvány sorral:

${\mathrm{i}}^n\mathrm{erfc}(z)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}^j}{2^{n-j}j!\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n-j}{2})},$

melyből a szimmetrikus tulajdonságok következnek:

${\mathrm{i}}^{2m}\mathrm{erfc}(-z)=-{\mathrm{i}}^{2m}\mathrm{erfc}(z)+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

és

${\mathrm{i}}^{2m+1}\mathrm{erfc}(-z)={\mathrm{i}}^{2m+1}\mathrm{erfc}(z)+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}.$

Implementációk

A hibafüggvény megtalálható a következő programozási nyelvekben

• C
• C99
• C++: C++11
• Fortran 2008
• Python
• Mathematica
• Haskell
• R
• Matlab
• Ruby
• A Google kereső kalkulátorként működhet és kiszámolja a „erf(...)” és „erfc(...)” értékeket.

Jegyzetek

Irodalom

• Cuyt, A.A.M.; Petersen, V.; Verdonk, B.; Waadeland, H.; Jones, W.B: Handbook of Continued Fractions for Special Functions. (hely nélkül): Springer-Verlag. 2008. ISBN 978-1-4020-6948-2  
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds: "Chapter 7", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 978-1-4020-6948-2  
• Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP: "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function". (hely nélkül): New-York Dover. 1965. ISBN 978-1-4020-6948-2  

Kapcsolódó szócikkek

• Gauss-függvény
• Szigmoid függvények
• Gauss-integrál
• Gamma-függvény
• Inkomplett gamma-függvény
• Q-függvény
• Teljes függvény
• Szingularitás
• Normális eloszlás
• Bithibaarány
• Határérték probléma
• Dawson-függvény

További információk

• http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.special.erf.html
• http://www.ams.org/journals/mcom/1969-23-107/S0025-5718-1969-0247736-4/S0025-5718-1969-0247736-4.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/Erf.html