Relativisztikus Doppler-effektus

Egy jobbra mozgó, 0.7c sebességű fényforrás. A frekvencia magasabb a jobb oldalon, alacsonyabb a balon.

A relativisztikus Doppler-effektus kiszámítása a klasszikus Doppler-effektushoz hasonlóan történik, azzal a különbséggel, hogy a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz-transzformációt alkalmazzuk a forrás és a közeg, illetve a közeg és a megfigyelő közötti váltásoknál.

Egydimenziós eset vizsgálata

Vizsgáljuk először az egydimenziós esetet, legyen a közeghez rögzített koordináta-rendszerben $c$, $w$, $f$, $v_f$, $m$, $v_m$ rendre a fénysebesség, a hullámsebesség, a forrás helye, sebessége, a megfigyelő helye és sebessége. Legyen továbbá $n$=1, ha a hullámok balról (negatív irányból) érik a megfigyelőt, és $n$=-1, ha jobbról (pozitív irányból). Ha a forrás mozog és a megfigyelő áll, a tapasztalt frekvencia:

$f=f_0\sqrt{1-\frac{v_f^2}{c^2}}\frac{w}{|w-n{v}_f|}$

Ha a megfigyelő mozog és a forrás áll, a képlet a következő:

$f=f_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_m^2}{c^2}}}\frac{|w-n{v}_m|}{w}$

Az általános esetben (a forrás és a megfigyelő is mozog):

$f=f_0\frac{\sqrt{1-\frac{v_f^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{v_m^2}{c^2}}}\frac{|w-n{v}_m|}{|w-n{v}_f|}=f_0\frac{\sqrt{c^2-v_f^2}}{\sqrt{c^2-v_m^2}}\frac{|w-n{v}_m|}{|w-n{v}_f|}$

Abban a speciális esetben ha $w=c$, a képletek a következőképpen egyszerűsödnek (az előbbivel azonos sorrendben felírva):

$f=f_0\sqrt{\frac{c+n{v}_f}{c-n{v}_f}}$

$f=f_0\sqrt{\frac{c-n{v}_m}{c+n{v}_m}}$

$f=f_0\sqrt{\frac{c+n{v}_f}{c-n{v}_f}}\sqrt{\frac{c-n{v}_m}{c+n{v}_m}}$

Legyen $v_r$ a megfigyelő forráshoz viszonyított sebessége (a relativisztikus sebesség-összeadás szabályai szerint):

$v_r=\frac{v_m-v_f}{1-\frac{v_m{v}_f}{c^2}}$

Ekkor a képletek a $v_r$ felhasználásával a következő alakban foglalhatók össze:

$f=f_0\sqrt{\frac{c-n{v}_r}{c+n{v}_r}}$

Ebből a formából látható, hogy fénysebességű hullámok esetében a közeghez viszonyított sebességnek nincs jelentősége, csak a forrás és a megfigyelő egymáshoz viszonyt sebessége befolyásolja a mérhető frekvenciát.

Többdimenziós eset vizsgálata

A többdimenziós eset vizsgálatánál $\mathbf{f},\mathbf{m},{\mathbf{v}}_f,{\mathbf{v}}_m$ vektorok lesznek, $w$ és $c$ továbbra is skalár. (Továbbra is feltesszük hogy a forrás és a megfigyelő egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, és hogy a forrás frekvenciája állandó.) Először oldjuk meg τ-re az alábbi egyenletet:

$|\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau {\mathbf{v}}_f)|=w\tau$

Ha található egy (esetleg két) megfelelő τ érték, akkor jelölje $n$ (pontosabban $n_{\tau }$) a képletben szereplő vektor irányába mutató egységvektort:

$\mathbf{n}:=\frac{\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau {\mathbf{v}}_f)}{|\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau {\mathbf{v}}_f)|}$

Ezen egységvektor felhasználásával az egydimenziós esetből kapott képleteket az alábbi formában írhatjuk fel (azonos sorrendben: mozgó forrás, mozgó megfigyelő, mindkettő mozog):

$f=f_0\sqrt{1-\frac{{\mathbf{v}}_f^2}{c^2}}\frac{w}{|w-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_f|}$

$f=f_0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\mathbf{v}}_m^2}{c^2}}}\frac{|w-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_m|}{w}$

$f=f_0\frac{\sqrt{1-\frac{{\mathbf{v}}_f^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{{\mathbf{v}}_m^2}{c^2}}}\frac{|w-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_m|}{|w-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_f|}=f_0\frac{\sqrt{c^2-v_f^2}}{\sqrt{c^2-v_m^2}}\frac{|w-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_m|}{|w-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_f|}$

Az egydimenziós esethez hasonlóan itt is egyszerűsödnek a képletek abban a speciális esetben, ha w=c, azaz a fénysebességgel terjedő hullámokról van szó:

$f=f_0\sqrt{\frac{c+\mathbf{n}{\mathbf{v}}_f}{c-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_f}}$

$f=f_0\sqrt{\frac{c-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_m}{c+\mathbf{n}{\mathbf{v}}_m}}$

$f=f_0\sqrt{\frac{c+\mathbf{n}{\mathbf{v}}_f}{c-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_f}}\sqrt{\frac{c-\mathbf{n}{\mathbf{v}}_m}{c+\mathbf{n}{\mathbf{v}}_m}}$

Figyelem, ezen a ponton nem ismételhetjük meg mechanikusan az egydimenziós eset utolsó képletét, mivel az $\mathbf{n}$ vektort a közeghez rögzített rendszerben számoltuk ki. Ha ${\mathbf{v}}_r$ a megfigyelő sebessége a forráshoz képest, és ${\mathbf{n}}_r$-t a forráshoz rögzített rendszerben számoltuk ki, akkor használhatjuk ezt a formát:

$f=f_0\sqrt{\frac{c-{\mathbf{n}}_r{\mathbf{v}}_r}{c+{\mathbf{n}}_r{\mathbf{v}}_r}}$

Geometriai levezetés

Jelölések: $c$ a fénysebesség, $v$ a megfigyelő a jel forráshoz való közeledésének a sebessége, $T_0$ a jel kibocsátások időkülönbsége, $T$ a megfigyelő által észlelt időkülönbség, $t$ pedig egy segédváltozó. Az ábráról látszik, hogy $c{T}_0=ct+vt$ azaz $t=\frac{c}{c+v}{T}_0$. Ha ezt átírnánk frekvenciára pont a klasszikus Doppler-effektust kapnánk. Az idődilatáció miatt:

$T=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot t$

Ezekből

$T=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot \frac{c{T}_0}{c+v}=\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\cdot T_0$

Mivel a frekvencia a hullámhossz reciprokával arányos, így azt kapjuk, hogy

$f=\frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}\cdot f_0$

Relativisztikus Doppler-hatás

Távolodó megfigyelő esetén $c{T}_0=ct-vt$ azaz $t=\frac{c{T}_0}{c-v}$ Ezért a megfelelő formula:

$f=\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\cdot f_0$

Amit úgy is megkaphatunk, hogy $v$ helyére $-v$-t helyettesítünk.

Alkalmazás

Sebességmérés radar használatával

A forráshoz képest mozgó tárgyról visszaverődő fény (elektromágneses hullám), kétszeres Doppler-transzformációt szenved el, tehát a visszavert jel frekvenciája:

$f=f_0{\sqrt{\frac{c-n{v}_r}{c+n{v}_r}}}^2=f_0\frac{c-n{v}_r}{c+n{v}_r}$

Ez a képlet felhasználható a v_r sebesség kiszámítására:

$n{v}_r=c\frac{f_0-f}{f_0+f}$

Látható, hogy a frekvencia csökkenése (f < f₀) távolodó mozgást ($n{v}_r>0$) jelent, a frekvencia növekedése (f > f₀) pedig közeledő mozgást ($n{v}_r<0$).

Külső hivatkozás

• Interaktív Java szimuláció a klasszikus és a relativisztikus Doppler-effektusról. Szerző: Wolfgang Christian