Spektráltétel

Spektráltétel alatt a lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben több, egymással rokon állítást értenek. A legegyszerűbb változat mátrixok egy osztályának diagonalizálásáról szól. A későbbiekben tekintett tételek ezt általánosítják végtelen dimenziós vektorterekre. A spektrál név a spektrumra, mint a sajátértékek halmazára utal.

Véges dimenziós vektorterek

Legyen $V$ véges dimenziós, unitér vektortér $\mathbb{𝕂}$ fölött (például $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$ vagy $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$). Csak akkor létezik $V$ egy endomorfizmusának sajátvektoraiból álló ortonormált bázis, ha ez normális, és a sajátértékek mind $\mathbb{𝕂}$-beliek. A mátrixokra nézve ez azt jelenti, hogy egy mátrix pontosan akkor unitér diagonalizálható, ha normális, és az összes sajátértéke $\mathbb{𝕂}$-beli. Egy másik gyakori megfogalmazás, hogy egy $A$ mátrix pontosan akkor normális, ha unitér diagonalizálható, ha létezik egy ugyanolyan dimenziós $U$ unitér mátrix, hogy

$U^{*}AU=D$,

ahol $D:=\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ diagonális mátrix, az $A$ mátrix sajátértékeivel az átlóján. Amennyiben $\mathbb{𝕂}$ algebrailag zárt, például $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$ (az algebra alaptétele szerint), a sajátértékek mind $\mathbb{𝕂}$-beliek, és minden normális mátrix unitér diagonalizálható. Hogyha $\mathbb{𝕂}$ nem algebrailag zárt, akkor ez nem feltétlenül teljesül, és ellenőrizni kell az összes sajátértéket. Az önadjungált endomorfizmusok, illetve hermitikus mátrixok összes sajátértéke valós. A spektráltétel szerint a hermitikus mátrixok diagonalizálhatók, és egy endomorfizmus pontosan akkor önadjungált, ha sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható és összes sajátértéke valós. Például a valós szimmetrikus mátrixok diagonalizálhatók. A spektrálfelbontás a spektráltételen alapul.

Kompakt operátorok

Legyen $H$ Hilbert-tér $\mathbb{𝕂}$ fölött, és legyen $T:H\to H$ kompakt lineáris operátor. A $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$ esetben legyen normális, $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$ esetén önadjungált. Ekkor létezik egy $e_1,e_2,\dots$ ortonormált rendszer, illetve egy $({\lambda }_k{)}_{k\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ nullsorozat a $\mathbb{𝕂}\mathrm{\setminus }\{0\}$ halmazban úgy, hogy

$H=\ker (T)\oplus \overline{\mathrm{span}(\{e_1,e_2,\dots \})}$

illetve

$Tx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k⟨e_k,x⟩e_k$

minden $x\in H$ esetén. Az ${\lambda }_k$ elemek minden $k\in \mathbb{\mathbb{N}}$ esetén sajátértékei $T$-nek és $e_k$ a ${\lambda }_k$-hoz tartozó sajátvektor. Továbbá $\Vert T\Vert =\underset{k\in \mathbb{\mathbb{N}}}{\sup }|{\lambda }_k|$, ahol $\Vert \cdot \Vert$ operátornorma. A kompakt operátorokra szóló spektráltétel ortogonális projekciókkal átfogalmazható. Legyen $H$ Hilbert-tér $\mathbb{𝕂}$ fölött, és $T:H\to H$ kompakt lineáris operátor, ami $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$ esetén normális, $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$ esetén önadjungált. $E_k$-val jelöljük az ortogonális projekciót a ${\lambda }_k$-hoz tartozó $\ker ({\lambda }_k{\mathrm{i}\mathrm{d}}_H-T)$ sajáttérre. Az $E_k$ operátor ábrázolható úgy is, mint $E_{k}x=\sum _{i=1}^{d_k}⟨e_i^k,x⟩e_i^k$, ahol $d_k$ a $\ker ({\lambda }_k{\mathrm{i}\mathrm{d}}_H-T)$ sajáttér dimenziója és $\{e_1^k,\dots ,e_{d_k}^k\}$ a sajáttér ortonormált bázisa. Ekkor a spektráltétel megfogalmazható a következőképpen: létezik a $({\lambda }_k{)}_{k\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ sajátértékek nullsorozata $\mathbb{𝕂}\mathrm{\setminus }\{0\}$-ban úgy, hogy

$Tx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{E}_{k}x$

minden $x\in H$-ra. Ez a sorozat nemcsak pontonként, hanem operátornormában is konvergál.

Korlátos operátorok

Legyen $H$ Hilbert-tér, $T:H\to H$ önadjungált folytonos operátor. Ekkor egyértelműen létezik egy $\mathbb{ℝ}$-ben korlátos tartójú $E:\mathrm{\Sigma }\to L(H,H)$ spektrálmérték úgy, hogy

$T=\underset{\sigma (T)}{\int }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }.$

Itt $\mathrm{\Sigma }$ $\mathbb{ℝ}$ Borel-algebrája, $L(H,H)$ a $H$-n értelmezett korlátos operátorok halmaza, és $\sigma (T)$ a $T$ spektruma. Ha $H$ véges dimenziós, akkor teljesül, hogy $H\cong {\mathbb{ℂ}}^n$; továbbá a $T$ önadjungált operátor ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_m$ sajátértékei mind különbözőek, és ahogy azt korábban megállapítottuk,

$T=\sum _{i=1}^m{\mu }_i{E}_{\{{\mu }_i\}},$

ahol $E_{\{{\mu }_i\}}$ ortogonális projekció ${\mu }_i$ $\ker ({\mu }_i-T)$ sajátterére. $T$ spektrálmértéke minden $A\in \mathrm{\Sigma }$-ra

$E_A=\sum _{\{i:{\mu }_i\in A\}}{E}_{\{{\mu }_i\}}$

Így a korlátos operátorokra szóló spektráltétel visszavezethető a lineáris algebrai spektráltételre: $T=\sum _{i=1}^m{\mu }_i{E}_{\{{\mu }_i\}}$ Legyen $T:H\to H$ kompakt lineáris operátor, ekkor teljesül rá a spektráltétel. Legyen $({\mu }_i{)}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ $T$ sajátértékeinek sorozata, és legyen $E_A=\sum _{\{i:{\mu }_i\in A\}}{E}_{\{{\mu }_i\}}$ spektrálmérték, ahol az összegnek megszámlálható sok tagja van, és pontonként konvergál, akkor a spektráltétel a következőre egyszerűsíthető:

$T=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_i{E}_{\{{\mu }_i\}}.$

Így a korlátos operátorokról szóló spektráltétel a kompakt operátortokról szólót is magában foglalja. Például a $T:L^2([0,1])\to L^2([0,1])$ operátor, ahol $T(x)(t)=t\cdot x(t)$ önadjungált $\sigma (T)\subset [0,1]$-n, és nincsenek sajátértékei. Has $A\in \mathrm{\Sigma }$, akkor $E_{A}x={\chi }_{A\cap [0,1]}x$ kompakt tartójú spektrálmérték. Ábrázolja $T$-t, mivel

$\int \lambda \mathrm{d}⟨E_{\lambda }x,y⟩=\underset{[0,1]}{\int }\lambda x(\lambda )\overline{y(\lambda )}\mathrm{d}\lambda =⟨Tx,y{⟩}_{L^2([0,1])}.$

Legyen $T\in L(H,H)$ önadjungált opretáror. Ekkor a $\hat{\mathrm{\Phi }}:{ℬ}(\sigma (T))\to L(H,H)$ mérhető funkcionálkalkulus egy egyértelműen meghatározott, folytonos, involutorikus algebrai homomorfizmus. A spektrálfelbontás segítségével a leképezés egyszerű ábrázolását kapjuk, ugyanis

$\hat{\mathrm{\Phi }}(f)=f(T)=\underset{\sigma (T)}{\int }f(\lambda )\mathrm{d}{E}_{\lambda }.$

Nem korlátos operátorok

Ha $A$ sűrűn definiált normális operátor egy $H$ komplex Hilbert-téren, akkor van egy egyértelmű $E$ spektrálmérték $\mathbb{ℂ}$ Borel-halmazain, akkor teljesülnek a következők ($\sigma (A)$ az $A$ spektruma):

• $A=\underset{\sigma (A)}{\int }z\mathrm{d}E(z)$
• Egy $M\subseteq \mathbb{ℂ}$ halmaz esetén, ahol $M\cap \sigma (A)=\mathrm{\varnothing }$, teljesül, hogy $E(M)=0$.
• Egy $M\subseteq \mathbb{ℂ}$ nyílt halmazra, ahol $M\cap \sigma (A)\ne \mathrm{\varnothing }$, teljesül, hogy $E(M)\ne 0$.

Egy önadjungált operátor normális, valós spektrummal. A fenti integrál korlátozható a valós számokra. Ekkor az értelmezési tartomány

$D(A)=\{x\in H|\underset{\sigma (A)}{\int }|\lambda {|}^2\mathrm{d}⟨E_{\lambda }x,x⟩<\mathrm{\infty }\}$

és a kvadratikus forma értelmezési tartománya

$Q(A)=\{x\in H|\underset{\sigma (A)}{\int }|\lambda |\mathrm{d}⟨E_{\lambda }x,x⟩<\mathrm{\infty }\}$.

ami nyilván az $⟨Ax,x⟩$ kvadratikus forma maximális értelmezési tartománya, aminek különösen fontos jelentősége van a kvantummechanikában. A spektráltétel egy alternatív megfogalmazása, hogy ha az $A$ unitér operátor ekvivalens egy multiplikációs operátorral $L_2(\mathrm{\Omega })$ fölött egy mérhető $f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℂ}$ függvénnyel, akkor $A$ önadjungált, tehát $f$ valós értékű. Egy komplex normális operátor leírható, mint két, egyszer a valós, másszor az imaginárius egységgel megszorzott, egymással felcserélhető, önadjungált operátor összege: mint valós rész + $i$-szer képzetes rész, $A={\hat{W}}_1+i{\hat{W}}_2,{\hat{W}}_i\equiv {\hat{W}}_i^{†},{\hat{W}}_1{\hat{W}}_2={\hat{W}}_2{\hat{W}}_1.$ Továbbá a felcserélhetőség miatt a ${\hat{W}}_2$ és a ${\hat{W}}_1$ operátorok sajátvektorai megegyeznek, habár a sajátértékeik különbözhetnek. Így lehet $W_2$ az önadjungált ${\hat{W}}_1$ operátor függvénye, ${\hat{W}}_2\equiv f_2({\hat{W}}_1),$ egy alkalmas $f_2$ függvénnyel. Ekkor csak egyetlen valós spektrálábrázolás jöhet számításba, ${\hat{W}}_1(=\frac{A+A^{†}}{2})$, és például

${\hat{W}}_1=\underset{x\in \sigma ({\hat{W}}_1)}{\int }x\mathrm{d}E(x)$   és   ${\hat{W}}_2(=\frac{A-A^{†}}{2i})=\underset{x\in \sigma ({\hat{W}}_1)}{\int }{f}_2(x)\mathrm{d}E(x)$

Története

A kompakt önadjungált operátorok spektráltételét és a korlátos önadjungált operátorok leginkább David Hilbert munkásságára vezethetők vissza, aki 1906-ban közölt bizonyításokat ezekre az esetekre. Hilbert a maitól különböző módon írta le a tételeket: a spektrálmérték helyett Stieltjes-integrált használt, melyet Thomas Jean Stieltjes vezetett be 1894-ben a lánctörtek vizsgálatára. A korlátos és a nem korlátos operátorokra többek között Riesz (1930–1932), valamint Lengyel és Stone (1936), a nem korlátos esetekre Leinfelder (1979) talált bizonyításokat.

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0
• John B. Conway: A Course in Functional Analysis (Springer, 2. Aufl. 1990)
• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Spektralsatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.