Számtani-mértani sorozat

A matematikában a számtani-mértani sorozatok (angolul: arithmetico–geometric sequence) olyan sorozatok, amelyek valamilyen módon általánosítják a számtani és mértani sorozatokat.

A név kétértelműsége

Mivel az általánosítás nem csak egyféleképpen tehető meg, ezért ezen név alatt több dolog is érthető. Az angol és amerikai szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok, azaz az arithmetico–geometric sorozatok, egy számtani és egy mértani sorozat tagonkénti összeszorzásának eredményei. Ezzel szemben a francia szakirodalomban ugyanezen név (suite arithmético-géométrique) alatt egy bizonyos lineáris rekurziót teljesítő sorozatokat értenek.

Angol értelmezés

Az angol szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy számtani és egy mértani sorozat tagonkénti összeszorzásának eredményei. Azaz egy számtani-mértani sorozat n-edik tagja egy számtani sorozat n-edik és egy mértani sorozat n-edik tagjának szorzata. A matematika különböző területein megjelennek az ilyesféle sorozatok, például a valószínűségszámításon belül bizonyos várható érték problémáknál. Például, a

$$\begin{gathered} \frac{0}{1}, \\ \frac{1}{2}, \\ \frac{2}{4}, \\ \frac{3}{8}, \\ \frac{4}{16}, \\ \frac{5}{32},\cdots \end{gathered}$$

sorozat egy ilyen sorozat. A számtani komponens a számlálóban jelenik meg (kékkel jelölve), míg a mértani rész a nevezőben található (zölddel jelölve).

A sorozat tagjai

Egy a kezdőértékű, d különbségű számtani sorozat (kékkel jelölve); és egy b kezdőértékű, q hányadosú mértani sorozat (zölddel jelölve) tagonkénti összeszorzásából adódó sorozat első pár tagja a következőképpen alakul:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{t}_1& =ab\\ t_2& =(a+d)bq\\ t_3& =(a+2d)b{q}^2\\ & \\ ⋮\\ t_n& =[a+(n-1)d]b{q}^{n-1}\end{array} \end{gathered}$$

Tagok összege

Egy számtani-mértani sorozat első n tagjának összege

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{k=1}^n{t}_k=\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]b{q}^{k-1}\\ & =ab+[a+d]bq+[a+2d]b{q}^2+\cdots +[a+(n-1)d]b{q}^{n-1},\end{array}$

a következő zárt képletek valamelyikével számítható:

$S_n=b(\frac{a-[a+nd]q^n}{1-q}+dq\frac{1-q^n}{(1-q{)}^2}),$

$S_n=b(\frac{a-[a+(n-1)d]q^n}{1-q}+dq\frac{1-q^{n-1}}{(1-q{)}^2}).$

Levezetés

A következőkben az első képlet levezetése következik. Mivel b mint szorzótényező minden tagban megtalálható, ezért elég csak a végén megszorozni az összeget b-vel, hogy a b értékét figyelembe vegyük, így a továbbiakban feltételezzük, hogy b = 1.

$\begin{array}{rlrlrlrlrlrll}{S}_n& =& a+(a+d)q& +& (a+2d)q^2& +& (a+3d)q^3& +& & \dots & +(a+(n-2)d)q^{n-2}& +(a+(n-1)d)q^{n-1}& \\ q{S}_n& =& aq& +& (a+d)q^2& +& (a+2d)q^3& +& & \dots & & +(a+(n-2)d)q^{n-1}& +(a+(n-1)d)q^n\end{array}$

A két egyenletet egymásból kivonva azt kapjuk, hogy

$\begin{array}{rl}(1-q)S_n& =a+d(q+q^2+q^3+\dots +q^{n-1})-(a+(n-1)d)q^n\\ (1-q)S_n& =a+d(q+q^2+q^3+\dots +q^{n-1})-(a+nd-d)q^n\\ (1-q)S_n& =a+d(q+q^2+q^3+\dots +q^{n-1})-(a+nd)q^n+d{q}^n\\ (1-q)S_n& =a+d(q+q^2+q^3+\dots +q^{n-1}+q^n)-(a+nd)q^n\\ (1-q)S_n& =a+dq\frac{1-q^n}{1-q}-(a+nd)q^n,\end{array}$

majd az utolsó sort átrendezve megkapjuk, hogy

$S_n=\frac{a-(a+nd)q^n}{1-q}+dq\frac{1-q^n}{(1-q{)}^2}.$

Végtelen sorként

Az első n tag összegképletéből látható, hogy akkor konvergens egy végtelen számtani-mértani sor, ha |q| < 1, ekkor a határértéke

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{a}{1-q}+\frac{dq}{(1-q{)}^2}.$

Ha nem teljesül a |q| < 1 feltétel, akkor a sorozat

• konvergens, ha a és d nulla, ekkor a sor összege is nulla;
• alternáló, ha q < -1 (és a vagy d nem nulla);
• divergens, ha 1 < q (és a vagy d nem nulla).

Alkalmazás

Geometriai eloszlás várható értéke

A p paraméterű geometriai eloszlás várható értéke definíció szerint a következőképpen számolható:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k(1-p{)}^{k-1}p$.

Ebből a p szorzótényezőt kiemelve és fenti összegképletet alkalmazva:

$\begin{array}{rl}p\cdot \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k\cdot (1-p{)}^{k-1}& =p\cdot (\frac{1}{1-(1-p)}+\frac{1\cdot (1-p)}{{(1-(1-p))}^2})\\ & =p\cdot (\frac{1}{p}+\frac{1-p}{p^2})\\ & =p\cdot \left(\frac{1}{p^2}\right)\\ & =\frac{1}{p}\end{array}$.

Valóban a geometriai eloszlás várható értékét kapjuk. Mivel az összegképlet csak $|q|=1-p<1$ esetben alkalmazható (hiszen a sor csak ekkor konvergens), ezért a p = 0 esetet külön kell kezelni.

Francia értelmezés

A francia szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy lineáris rekurzív relációt teljesítenek, ezáltal általánosítva a számtani és mértani sorozatokat.

Definíció

Egy számtani-mértani sorozat a következő lineáris rekurzív relációval definiálható:

$a_n=q{a}_{n-1}+d(n>1),$

ahol az első tag, q és d adott. Ha q = 1, akkor a sorozat egy számtani sorozatra, ha pedig d = 0, akkor mértani sorozatra redukálódik. Emiatt a továbbiakban csak a q ≠ 1 esettel foglalkozunk.

A sorozat tagjai

Először is legyen $A=a_1$ és $D=d$ a továbbiak megkönnyítése érdekében. Ahhoz, hogy ezen rekurzióhoz zárt képletet találjuk, a következő ötletet alkalmazhatjuk: tekintsük a sorozat tagjait q számrendszerbeli számoknak. Noha nem feltétlenül kapunk érvényes q számrendszerbeli számokat (hiszen A és D lehet nagyobb, mint q), ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük egy adott és tag ábrázolását, és rögtön megkapjuk a zárt képletet. Ekkor a tagok ábrázolása q számrendszerben a következőképpen alakul:

$\begin{array}{rlr}{a}_1& =A_q& =A{q}^0\\ a_2& =A{D}_q& =A{q}^1+D{q}^0\\ a_3& =AD{D}_q& =A{q}^2+D{q}^1+D{q}^0\\ a_4& =ADD{D}_q& =A{q}^3+D{q}^2+D{q}^1+D{q}^0\\ & ⋮\\ a_n& =ADD\dots D_q& =A{q}^{n-1}+D{q}^{n-2}+\dots +D{q}^0\\ \end{array}$

Ez azért működik, mert a rekurzív képletben a q-val való szorzásnak olyan hatása van, mintha q számrendszerben egy helyiértékkel minden számjegyet balra toltunk volna. A d hozzáadása pedig felfogható $d\cdot q^0$ hozzáadásaként, azaz tulajdonképpen az "egyesek" helyére szúrunk be d-t. Mivel látható, hogy az n-edik tag pontosan n darab q számrendszerbeli számjegyből áll, amelyek közül a legnagyobb helyiértéken A, a többin mind D áll, ezért n-edik tag felírható a következőképpen:

$a_n=A{q}^{n-1}+D(q^{n-2}+q^{n-3}+\dots +1)=a_1{q}^{n-1}+d\frac{q^{n-1}-1}{q-1}.$

Tagok összege

Miután tudjuk, hogy hogyan fejezzük ki a sorozat n-edik tagját, már könnyen felírhatjuk az első n tag összegét.

$\begin{array}{rl}{a}_1& =a_1\\ a_2& =a_1{q}^1+d\frac{q^1-1}{q-1}\\ a_3& =a_1{q}^2+d\frac{q^2-1}{q-1}\\ a_4& =a_1{q}^3+d\frac{q^3-1}{q-1}\\ & ⋮\\ a_{n-1}& =a_1{q}^{n-2}+d\frac{q^{n-2}-1}{q-1}\\ a_n& =a_1{q}^{n-1}+d\frac{q^{n-1}-1}{q-1}\\ \end{array}$

A két oldalt összeadva:

$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{a}_i& =a_1(q^{n-1}+q^{n-2}+\dots +q^2+q^1+1)+\frac{d}{q-1}(q^{n-1}-1+q^{n-2}-1+\dots +q^2-1+q^1-1)\\ \sum _{i=1}^n{a}_i& =a_1\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{d}{q-1}(q\frac{q^{n-1}-1}{q-1}-(n-1))\\ \sum _{i=1}^n{a}_i& =a_1\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{d}{q-1}(\frac{q^n-1}{q-1}-n)\\ \end{array}$

Alkalmazás

Egyszerű populációs modell

Számtani-mértani sorozatokkal modellezhetőek például populációk (konstans beáramlás, arányos fogyás stb.). Ha például egy városból minden évben elvándorol a lakosság tíz százaléka, de év végén mindig betelepítenek ezer embert, akkor a következő sorozattal modellezhető a város lakossága:

$p_n=0.9p_{n-1}+1000=p_{1}0.9^{n-1}+1000\frac{0.9^{n-1}-1}{0.9-1}.$

Ha eredetileg 50 000 fő volt az első év végén, akkor könnyen kiszámítható, hogy a ötvenedik év végén körülbelül 10 230 ember fog élni a városban.

Hiteltörlesztés

Megtalálhatóak pénzügyi kontextusban is: t százalékos havi kamatra felvett C összeg esetén, havi M összeg befizetése mellett, a befizetendő összeg a következő sorozattal modellezhető (befizetés előtti kamatszámítást feltételezve):

$\begin{array}{rl}{b}_0& =C\\ b_n& =(1+\frac{t}{100})b_{n-1}-M\\ & =C{(1+\frac{t}{100})}^n-M\frac{{(1+\frac{t}{100})}^n-1}{\frac{t}{100}}\end{array}$

ahol $b_0$ a felvett összeg, azaz az, amivel eredetileg tartozunk a banknak, a további $b_n$ értékek pedig n-dik havi kamatszámítás és törlesztés után hátramaradó tartozást jelentik. Ez alapján gyorsan kiszámítható, hogy a felvett 1 000 000 forint törlesztése, havi 5%-os kamatra és havi 75 000 forint befizetése mellett hány hónap alatt lehetséges:

$\begin{array}{rl}0& =b_n\\ 0& =1000000\cdot 1.05^n-75000\cdot \frac{1.05^n-1}{0.05}\\ 0& =1000000\cdot 1.05^n-(1500000\cdot 1.05^n-1500000)\\ 500000\cdot 1.05^n& =1500000\\ 1.05^n& =3\\ n& \approx 22,52\end{array}$

Azaz a 23-dik hónap végére törleszthető a felvett összeg (azaz 23 befizetés után). Ezen idő alatt az összesen visszafizetett összeg valamivel több, mint 1 650 000 forint (ugyanis az utolsó törlesztésnél nem kell a teljes 75 000 forintot befizetni).

Kétállapotú Markov-láncokban

Kétállapotú Markov-láncokban a sztochasztikus mátrix a következőféleképpen felírható:

$\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-b& b\end{array}\right).$

Mivel

$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n)\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-b& b\end{array}\right),$

ebből kifolyólag

$p_{n+1}=a{p}_n+(1-b)q_n.$

Viszont

$q_n=1-p_n,$

ezért

$p_{n+1}=(a+b-1)p_n+(1-b),$

amely az explicit képlet segítségével egyszerűen számítható tetszőleges n értékre.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetico–geometric sequence című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Suite arithmético-géométrique című francia Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.