Szeparábilis differenciálegyenlet

A matematikai analízisben szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek olyan közönséges elsőrendű differenciálegyenletet nevezünk, mely előáll

$y^{\prime }=f(x)\cdot g(y)$

szorzat alakban, ahol f és g két, intervallumon értelmezett függvény, y pedig – a keresett függvény – olyan differenciálható függvény, mely az f értelmezési tartományából a g értelmezési tartományába képez és y értelmezési tartományának minden x pontjára teljesül az ${}_{y^{\prime }(x)=f(x)\cdot g(y(x))}$ egyenlőség. A változói szeparálásával oldható meg sok parciális differenciálegyenlet is. Ekkor szeparábilis megoldásnak nevezzük az olyan megoldást, mely előáll

z(x₁,x₂,…,x_n) = f₁(x₁)+ f₂(x₂)+ … +f_n(x_n) vagy

z(x₁,x₂,…,x_n) = f₁(x₁)$\cdot$f₂(x₂)$\cdot$ … $\cdot$f_n(x_n)

alakban.

Formális megoldás

Tegyük fel, hogy az

$y^{\prime }=f(x)\cdot g(y)$

szeparábilis differenciálegyenlet esetén f és g folytonos és g sehol sem nulla. Ekkor a megoldás formális lépései a következők:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$	$=$	$f(x)\cdot g(y)$
$\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}$	$=$	$f(x)\mathrm{d}x$
$\int \frac{1}{g(y)}\mathrm{d}y$	$=$	$\int f(x)\mathrm{d}x$
$H(y)$	$=$	$F(x)+C$	implicit általános megoldás
$y(x)$	$=$	$H^{-1}(F(x)+C)$	explicit általános megoldás

ahol C olyan tetszőleges konstans, mellyel a H^-1$\circ$(F+C) függvénykompozíció nem elfajuló (vagyis az értelmezési tartományának van belső pontja). Gyakran a H függvénynek (az 1/g primitív függvényének) olyan az alakja, hogy nem lehet felírni elemi függvények segítségével az inverzét. Ekkor vagy meghagyjuk implicit alakban a megoldást, vagy az inverzfüggvény-tételre hivatkozva lokális megoldásra utalunk. Ha adott y₀ = y(x₀) kezdeti feltételt kielégítő megoldást keresünk, akkor a H(y₀) = F(x₀)+C egyenletből kell kifejeznünk C-t és megkapjuk az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást.

Egzisztencia-unicitás tétel

Tétel – Ha f : $I$ $\to$ R és g : $J$ $\to$ R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények és g sehol sem nulla, továbbá y₀ ∈ int $J$ és x₀ ∈ int $I$ akkor az

$y^{\prime }=f(x)\cdot g(y)[y_0=y(x_0)]$

kezdetiérték feladatnak van (nyílt intervallumon értelmezett differenciálható) megoldása és van olyan x₀ körüli K ⊆ $I$ nyílt intervallum, ahol bármely két megoldás egyenlő. Bizonyítás. (Egzisztencia) Az 1/g függvény $J$-n értelmezett folytonos függvény, így létezik integrálfüggvénye. Legyen az y₀-ban eltűnő integrálfüggvénye H. 1/g nem nulla, így az integrálszámítás első alaptétele és a globális inverzfüggvény tétel értelmében H invertálható és inverze diffeomorfizmus. Az y₀ pont belső pontja $J$-nek, így létezik olyan V ⊆ $J$ nyílt környezete. H ezt a 0 ∈ U nyílt halmazba képezi és H(y₀)=0. De ha F az f függvény x₀-ban eltűnő integrálfüggvénye, akkor F(x₀) = 0 ∈ U, így F folytonossága miatt létezik x₀-nak mint $I$ egy belső pontjának olyan nyílt K környezete, hogy F(K) ⊆ U. Ekkor az

$y:K\to J;x\mapsto H^{-1}(F(x))$

jól értelmezett, differenciálható függvény, mely – a kompozíció és az inverz függvény deriválására vonatkozó szabály értelmében – kielégíti a kezdetiérték feladatot.
(Unicitás) A formális megoldást végigkövetve látható, hogy az előbbi K intervallumon minden y megoldás a

H^-1$\circ$F

függvénnyel egyenlő.

Gyenge megoldások

Azt mondjuk, hogy az y ' = f(x)g(y) [y₀ = y(x₀)] kezdeti érték feladatnak y gyenge megoldása, ha y olyan intervallumon értelmezett folytonos függvény, mely megoldása a

$y_0+\underset{x_0}{\int }f\cdot (g\circ y)=y$

integrálegyenletnek. Állítás – Ha f : $I$ $\to$ R és g : $J$ $\to$ R integrálható függvények, rendre folytonosak x₀ ∈ int $I$-ban és y₀ ∈ int $J$-ben és ott nem nulla értékűek, akkor az y ' = f(x)g(y) [y₀ = y(x₀)] kezdeti érték feladatnak létezik gyenge megoldása. Bizonyítás. Létezik olyan L zárt intervallum, hogy y₀ ∈ L ⊆ int $I$ és ebben 1/g mindenütt értelmezett továbbá

$H:=\underset{y_0}{\int }\frac{1}{g{|}_L}$

invertálható, sőt inverzével együtt Lipschitz-függvény. Ugyanez igaz egy x₀ körüli zárt V környezetre, az

$F:=\underset{x_0}{\int }f{|}_V$

függvény esetén. Ekkor

$H^{-1}\circ F$

megfelel az y kívánt tulajdonságainak.

Szoftver

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]