Szeszkvilineáris forma

Egy szeszkvilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz hozzárendel egy skalárt, úgy, hogy az egyik változójában lineáris, a másikban szemilineáris. Az elnevezés a latin sesqui szóból származik, melynek jelentése másfél. Egy klasszikus példa a $f:{\mathbb{ℂ}}^n\times {\mathbb{ℂ}}^n\to \mathbb{ℂ}$ komplex standard skalárszorzat:

$f((v_1,\dots ,v_n),(w_1,\dots ,w_n))={\bar{v}}_1{w}_1+\dots +{\bar{v}}_n{w}_n$

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két argumentum származhat két különböző $V,W$ vektortérből, azonban ezeknek egy közös $K$ test fölöttinek kell lenniük. Egy $f:V\times W\to K$ szeszkvilineáris forma lineáris forma az egyik, és szemilineáris a másik argumentumban. Két konvenció él, melyek nem értenek egyet abban, hogy melyik argumentum a lineáris, és melyik a szemilineáris. A fizikában mindig az első argumentum szemilineáris. Valós számok fölött a szeszkvilineáris forma egybeesik a bilineáris formával.

Definíció

Legyenek $V,W$ komplex vektorterek. Egy $S:V\times W\to \mathbb{ℂ},(v,w)\mapsto S(v,w)=⟨v,w⟩$ leképezés szeszkvilineáris forma, ha szemilineáris az első argumentumában, és lineáris a másodikban, vagyis

• $⟨v_1+v_2,w⟩=⟨v_1,w⟩+⟨v_2,w⟩$
• $⟨\lambda v,w⟩=\bar{\lambda }⟨v,w⟩;$

és

• $⟨v,w_1+w_2⟩=⟨v,w_1⟩+⟨v,w_2⟩$
• $⟨v,\lambda w⟩=\lambda ⟨v,w⟩.$

ahol $v,v_1,v_2\in V$, $w,w_1,w_2\in W$ és $\lambda \in \mathbb{ℂ}$. Néha ehelyett az első argumentumban írnak elő linearitást és a másikban szemilinearitást, ez a megkülönböztetés azonban csak formális jellegű. Ez a definíció kiterjeszthető más testekre és modulusokra is, amennyiben az adott test vagy gyűrű bír egy kitüntetett $\lambda \mapsto \bar{\lambda }$ automorfizmussal vagy endomorfizmussal. Pozitív karakterisztikájú testekben ez a Frobenius-homomorfizmus. A konstans nulla leképezés $S=0$ szeszkvilineáris forma. Szeszkvilineáris formák pontonkénti összege és pontonkénti skalárszorosa szintén szeszkvilineáris forma. Így a szeszkvilineáris formák komplex vektorteret alkotnak.

Hermitikus szeszkvilineáris forma

Egy $S:V\times V\to \mathbb{ℂ}$ szeszkvilineáris forma hermitikus, ha

$S(v,w)=\overline{S(w,v)}$

Ez a definíció analóg a szimmetrikus bilineáris formához. Az elnevezés Charles Hermite nevét őrzi.

Példák

Egy komplex vektortérben egy bázis szerinti standard skalárszorzat hermitikus szeszkvilineáris forma. Lásd még: Klein-tér.

Polarizáció

Állítás

Egy fontos képlet a polarizációs formula:

$\begin{array}{rl}4\cdot S(y,x)& =\sum _{k=0}^3{\mathrm{i}}^{k}S(x+{\mathrm{i}}^{k}y,x+{\mathrm{i}}^{k}y)\\ & =S(x+y,x+y)+\mathrm{i}S(x+\mathrm{i}y,x+\mathrm{i}y)-S(x-y,x-y)-\mathrm{i}S(x-\mathrm{i}y,x-\mathrm{i}y),\end{array}$

ami azt mutatja, hogy egy szeszkvilineáris formát meghatározza az átlója, vagyis az $⟨\xi ,\xi ⟩$ értékei. Ez csak a szeszkvilineáris formára vonatkozik, bilineáris formákra nem igaz.

Speciális eset

A polarizációs formula közvetlen következménye, hogy $S$ pontosan akkor tűnik el, hogyha $S(x,x)=0$ minden $x$-re. Másként, ha $S(x,y),T(x,y)$ szeszkvilineáris formák, és $S(x,x)=T(x,x)$ minden $x$-re, akkor $(S-T)(x,x)=0$, azaz $S=T$.

Ellenpélda

Bilineáris esetben a polarizációs formula nem teljesül. Ezt a következő példa mutatja: Legyen $V=W\cong {\mathbb{ℝ}}^2$, és legyen :$S(x,y):=x^T\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)y=-x_1{y}_2+x_2{y}_1$. $S$ nyilván bilineáris, és $S(x,x)=-x_1{x}_2+x_1{x}_2=0$ minden $x\in {\mathbb{ℝ}}^2$-re. Másrészt $S((1,0),(0,1))=1$.

Következmény

Legyen $({\mathscr{H}},⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ Hilbert-tér, és legyen $T$ korlátos lineáris operátor. Ekkor $S(x,y):=⟨Tx,y⟩$ korlátos szeszkvilineáris forma, ahol a korlátosság azt jelenti, hogy $|S(x,y)|\le C\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$ (itt $C=\Vert T\Vert$). Másrészt a Fréchet–Riesz reprezentációs tételből következően minden korlátos szeszkvilineáris forma meghatároz egy korlátos $T$ operátort, úgy, hogy $S(x,y)=⟨Tx,y⟩$ minden $x,y\in {\mathscr{H}}$-ra. Speciálisan, $S$ pontosan akkor tűnik el, ha $T$ is eltűnik. Ha ugyanis $S=0$, akkor $\Vert Tx{\Vert }^2=S(x,Tx)=0$ minden $x\in {\mathscr{H}}$-ra, tehát $T=0$. A megfordítás közvetlenül adódik $S$ definíciójából. A polarizációs formulából az is adódik, hogy az operátor pontosan akkor nulla, ha $⟨Tx,x⟩=0$ minden $x$-re. Ez azonban csak a komplex számok fölött igaz. Valós számok fölött még azt is ki kell kötni, hogy $T$ önadjungált.

Általánosítás

A szeszkvilineáris forma modulusokra is kiterjeszthető, amennyiben van a nem feltétlenül kommutatív alapgyűrűnek antiautomorfizmusa. Legyenek $M,N$ modulusok ugyanazon $R$ gyűrű fölött, és legyen $\theta$ antiautomorfizmus $R$-en! Ekkor egy $⟨\cdot ,\cdot ⟩:M\times N\to R$ leképezés $\theta$-szeszkvilineáris forma, ha testszőleges $m,m_1,m_2\in M$, $n,n_1,n_2\in N$ és $\lambda \in R$ esetén teljesülnek a következő feltételek:

• $⟨m_1+m_2,n⟩=⟨m_1,n⟩+⟨m_2,n⟩$
• $⟨m,n_1+n_2⟩=⟨m,n_1⟩+⟨m,n_2⟩$
• $⟨\lambda m,n⟩=\lambda ⟨m,n⟩$
• $⟨m,\lambda n⟩=⟨m,n⟩\theta (\lambda )$

Forrás

• Siegfried Bosch. Lineare Algebra, 3., Heidelberg: Springer-Lehrbuch, 245–248. o. (2006) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Sesquilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.