Polarizációs formula

A lineáris algebrában a polarizációs formulával egy szimmetrikus bilineáris forma, illetve egy hermitikus szeszkvilineáris forma ábrázolható a hozzájuk tartozó kvadratikus alak segítségével. Alkalmazásának egy fontos esete a skalárszorzat és az általa indukált norma kapcsolata. Egy skalárszorzatos vektortérben az indukált norma számítása $\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$. A polarizációs formulával a skalárszorzat kiszámítható az általa indukált normából, ha a norma skalárszorzatból származik. A norma akkor származik skalárszorzatból, ha teljesíti a paralelogrammaazonosságot.

Valós eset

Legyen $V$ vektortér az $\mathbb{ℝ}$ valós számok teste fölött, és legyen $\alpha :V\times V\to \mathbb{ℝ}$ szimmetrikus bilineáris forma, azaz

$\begin{array}{rl}\alpha (v_1+v_2,w)& =\alpha (v_1,w)+\alpha (v_2,w)\\ \alpha (c\cdot v,w)& =c\cdot \alpha (v,w)\text{ s }\\ \alpha (v,w)& =\alpha (w,v)\end{array}$

minden $v,v_1,v_2,w\in V$, $c\in \mathbb{ℝ}$ esetén. A hozzá tartozó $q:V\to \mathbb{ℝ}$ kvadratikus alak

$q(v):=\alpha (v,v),v\in V.$

Megfordítva, az $\alpha$ kvadratikus alak is meghatározza a hozzá tartozó szimmetrikus bilineáris formát. Ezt a kapcsolatot a polarizációs formula fejezi ki:

$\begin{array}{rl}\alpha (v,w)& =\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w)),v,w\in V\\ & =\frac{1}{2}(q(v)+q(w)-q(v-w)),v,w\in V\\ & =\frac{1}{4}(q(v+w)-q(v-w)),v,w\in V.\end{array}$

Ez nem teljesül minden bilineáris formára, tehát a nem szimmetrikus esetekben nem. Legyenek $A:=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{s}B:=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ mátrixok, és legyenek $\alpha ,\beta :{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$ bilineáris formák úgy, hogy

$\alpha (v,w):=v^{T}Aw\text{s}\beta (v,w):=v^{T}Bw,v,w\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

Ekkor $\alpha$ és $\beta$ különböznek, de ugyanazt a kvadratikus alakot határozzák meg.

Komplex eset

Legyen $V$ vektortér a $\mathbb{ℂ}$ komplex számok teste fölött, és legyen $\alpha :V\times V\to \mathbb{ℂ}$ szeszkvilineáris forma. A hozzá tartozó $q:V\to \mathbb{ℂ}$ kvadratikus alak a valós esethez hasonlóan

$q(v):=\alpha (v,v),v\in V.$

A szeszkvilineáris formát is meghatározza kvadratikus alakja. A polarizációs formula komplex esetben:

$\alpha (v,w)=\frac{1}{4}(q(v+w)-q(v-w))-\frac{i}{4}(q(v+iw)-q(v-iw)),v,w\in V,$

ha $\alpha$ első argumentumában szemilineáris, és

$\alpha (v,w)=\frac{1}{4}(q(v+w)-q(v-w))+\frac{i}{4}(q(v+iw)-q(v-iw)),v,w\in V,$

ha $\alpha$ második argumentumában szemilineáris.

Források

• Oswald Riemenschneider: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (pdf; 809 kB)- Vorlesungsskript, Uni Hamburg 2005, S. 82
• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Berlin: Springer Spektrum (2018). ISBN 978-3-662-55599-6/hbk 978-3-662-55600-9/ebook

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polarisationsformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.