Skalárszorzatos vektortér

Két vektor közötti szög a skalárszorzattal értelmezve

A lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben a skalárszorzatos vektortér vagy prehilberttér egy vektortér, melyen még skalárszorzat is definiálva van a szokásos tulajdonságaival. Ha az alaptest valós, akkor a vektortér euklideszi; ha az alaptest komplex, akkor a tér unitér. Egyes szerzők azonban eltérnek ettől, és a valós, illetve komplex vektortereket is nevezik unitérnek vagy euklideszinek. A véges dimenziós, n-dimenziós vektortér euklideszi terek az n-dimenziós euklideszi tér modelljei. A skalárszorzat jelentőségét az adja, hogy segítségével lehet a vektorok hosszát, a matematika nyelvén normáját; és vektorpárok közrezárt szögét értelmezni, távolságokat mérni. Emiatt a skalárszorzatos vektorterek normált terek is. Ha a normált tér teljes a norma által indukált metrikára, akkor a tér Hilbert-tér.

Formális definíció

A klasszikus geometriában fontos a távolságok és a szögek mérése. Az euklideszi geometria axiómarendszerében ezt az egybevágóság axiómája biztosítja. Descartes-féle koordináta-rendszerben a távolságok és szögek skalárszorzattal számíthatók. A skalárszorzatos vektorterek ezt általánosítják: rögzítenek egy bázist, és ehhez egy skalárszorzatot, ami alapján értelmezhetők ezek a fontos jellemzők. A skalárszorzatos vektorterekben a többi vektortérhez hasonlóan értelmezzük a vektorok összeadását és skalárral szorzását, szokásos tulajdonságaikkal: Legyen $\mathbb{𝕂}$ a valós vagy komplex számok teste, és legyen $V$ vektortér a $\mathbb{𝕂}$ test fölött! Ekkor $V$ a vektorok összeadására Abel-csoportot alkot, azaz a vektorok összeadása kommutatív, asszociatív, és minden vektornak van ellentettje. A skalárral szorzás disztributív skalár és vektor szempontjából, és asszociatív is, illetve az alaptest egységeleme a skalárral szorzás neutrális eleme. Ezeknek a műveletek részletes leírása megnézhető Vektortér cikkünkben. A skalárszorzatos vektorterekben egy harmadik művelet is értelmezve van, a skalárszorzat. Ez valós esetben egy pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben egy pozitív definit Hermit-féle szeszkvilineáris forma, ami egy $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{𝕂}$ leképezés úgy, hogy minden $x,y,z\in V$ és $\lambda \in \mathbb{𝕂}$ esetén:

• (1)    $⟨x,x⟩\ge 0$
• (2)    $⟨x,x⟩=0\iff x=0$
• (3)    $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$ (valós esetben a konjugálás elhagyható)
• (4a)  $⟨x,\lambda y⟩=\lambda ⟨x,y⟩$   és
  (4b)  $⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$ (második argumentumában lineáris)

A (3) és (4) tulajdonságokból következik:

• (5a)  $⟨\lambda x,y⟩=\bar{\lambda }⟨x,y⟩$   és
  (5b)  $⟨x+z,y⟩=⟨x,y⟩+⟨z,y⟩$ első argumentumban szemilineáris - valós esetben a konjugálás elhagyható, ekkor a skalárszorzat első argumentumában is lineáris; tehát a skalárszorzat bilineáris.

A fenti definíció az elméleti fizikában használatos. Gyakran azonban ehelyett a második argumentumban konjugálnak. Vagyis:

• (4a')  $⟨\lambda x,y⟩=\lambda ⟨x,y⟩$

lineáris az első argumentumban

• (5a')  $⟨x,\lambda y⟩=\bar{\lambda }⟨x,y⟩$

szemilineáris a második argumentumban. Mindig figyelnünk kell arra, hogy az adott szerző melyik változatot használja. Valós esetben a konjugálásnak nincs hatása, így elhagyható.

Jelölés

A skalárszorzást jelölheti $x\cdot y$, de ha nem érthető félre, akkor a szorzópont elhagyható. Ilyenkor a betűkön jelölik, hogy itt mindkét tényező vektor, így kövéren nyomtatják, aláhúzzák a betűket, vagy nyilakkal jelzik. Így például $\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\mathbf{x}\mathbf{y}$ skaláris szorzás, míg $a\mathbf{x}$ skalárral szorzás. Elterjedt jelölés a $⟨x,y⟩$, melyet a funkcionálanalízis is használ. Ebből származik a Braket-jelölés, amit a kvantummechanikában előszeretettel alkalmaznak: $⟨x\mid y⟩$.

Példák

A valós számok vektorterében az $⟨x,y⟩=xy$, illetve a komplex számok vektorterében a $⟨x,y⟩=\overline{x}y$ egyszerű példák skalárszorzatos vektortérre. Véges dimenziós vektortérben, $x,y\in {\mathbb{𝕂}}^n$-ben a standard skalárszorzat:

$⟨x,y⟩=\sum _{j=1}^n{\overline{x}}_j{y}_j$

amivel ${\mathbb{𝕂}}^n$ teljessége miatt nemcsak skalárszorzatos vektortér, hanem Hilbert-tér is. Minden Hilbert-tér skalárszorzatos vektortér is egyben. Egy további példa a $[a,b]$-ből $\mathbb{ℝ}$-be menő függvények tere, az

$$\begin{gathered} ⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}p(x)f(x)g(x) \\ \mathrm{d}x \end{gathered}$$

skalárszorzattal, ahol $p$ folytonos pozitív súlyfüggvény. Ahelyett, hogy $p(x)>0$, feltehetjük, hogy $p(x)\ge 0$. Ebben a térben az ortogonális bázisokat ortogonális függvényrendszereknek nevezik. Példák a trigonometrikus függvények, a Legendre-polinomok, a Csebisev-polinomok, a Laguerre-polinomok és az Hermite-polinomok.

Norma

A skalárszorzat normát indukál a vektortéren:

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$.

A háromszög-egyenlőtlenség a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenséggel bizonyítható:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$.

Az indukált normával a skalárszorzatos vektortér normált tér, ahol teljesül a paralelogrammaazonosság:

$2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2$.

Megfordítva, a Jordan-Neumann-tétel szerint, ha egy normált térben teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor van skalárszorzat, ami a normát indukálja, így a tér skalárszorzatos. A skalárszorzat a polarizációs formulával számítható, valós esetben:

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}({\Vert x+y\Vert }^2-{\Vert x-y\Vert }^2)$.

Besorolás a vektorterek hierarchiájába

A skalárszorzat által indukált normával a skalárszorzatos vektortér normált tér. Így metrikus tér, tehát topologikus tér is; geometriai, illetve topológiai szerkezete van. A teljes skalárszorzatos terek Hilbert-terek. Minden skalárszorzatos vektortér izometrikus izomorfia erejéig Hilbert-térré tehető teljessé tétellel.

Általánosítások

A tenzoralgebra szempontjából a skalárszorzat:

$g:V\times V\to \mathbb{𝕂}$

felfogható másodfokú tenzorként a

$g\in V^{*}\otimes V^{*}$

jelöléssel, ahol $\otimes$ a tenzorszorzat, és $V^{\ast }$ a $V$ duális tere. Itt $g$ metrikus tenzor vagy metrika. A skalárszorzat előjelmegkötése azt jelenti, hogy a $g$-hez tartozó mátrix pozitív definit, vagyis csak pozitív sajátértékei vannak. A skalárszorzatos vektorterek általánosításai a bilineáris terek, ahol skalárszorzat helyett hermitikus formát vagy bilineáris formát használnak, amiről nem kötik ki, hogy pozitív definitnek kell lennie. Ennek egy fontos példája a Minkowski-tér a speciális relativitáselméletből, melynek metrikája $(-,+,+,+)$ vagy $(+,-,-,-)$ előjelű sajátértékekkel bír.

Forrás

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Prähilbertraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.