Egészrész

A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak a nála nem nagyobb legnagyobb egész számot felelteti meg. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak a nála nem kisebb legkisebb egész számot felelteti meg. A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre; a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak. A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer ('Gauss-zárójel') nevet az alsó egészrészre. Az angol nyelvben az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function, amiben az entier szó franciául egészet jelent.

Definíciók

Alsó egészrész

Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:

$\lfloor x\rfloor =\max \{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}\mid n\le x\},$

Így például $\lfloor 5\rfloor =5,\lfloor -3,5\rfloor =-4$.

Felső egészrész

Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:

$\lceil x\rceil =\min \{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}\mid n\ge x\}.$

Például: $\lceil 3\rceil =3,\lceil -2,6\rceil =-2$.

Törtrész

Egy x valós szám törtrésze az alsó egészrészétől való távolsága, azaz $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Nyilván mindig teljesül, hogy $0\le \{x\}<1$. Példa:

$x$ érték	$\lfloor x\rfloor$ alsó egészrész	$\lceil x\rceil$ felső egészrész	$\{x\}$ törtrész
2,4	2	3	0,4
2,7	2	3	0,7
−2,7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Tulajdonságok

Ekvivalens definíciók

Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban pontosan egy egész szám van, ezért bármely x valós szám esetén egyértelműen léteznek olyan m és n egészek, amikre:

$x-1<m\le x\le n<x+1.$

Ekkor az egészrészek definícióiból $\lfloor x\rfloor =m$ és $\lceil x\rceil =n$.

Számolás egészrészekkel

A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:

$\begin{array}{r}\lfloor x\rfloor =n⟺n\le x<n+1⟺x-1<n\le x,\\ \lceil x\rceil =n⟺n-1<x\le n⟺x\le n<x+1.\end{array}$

Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot is mutatják:

$\begin{array}{rl}x<n& ⟺\lfloor x\rfloor <n,\\ n<x& ⟺n<\lceil x\rceil ,\\ x\le n& ⟺\lceil x\rceil \le n,\\ n\le x& ⟺n\le \lfloor x\rfloor .\end{array}$

Egész szám hozzáadásának hatása:

$\begin{array}{rl}\lfloor x+n\rfloor & =\lfloor x\rfloor +n,\\ \lceil x+n\rceil & =\lceil x\rceil +n,\\ \{x+n\}& =\{x\}.\end{array}$

Ha n nem egy egész, akkor a fenti egyenlőségek helyett felírhatóak:

$\begin{array}{rl}& \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \le \lfloor x+y\rfloor \le \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\ & \lceil x\rceil +\lceil y\rceil \ge \lceil x+y\rceil \ge \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1.\end{array}$

Ezek csupa egész értékek, ezért bármilyen x, y valós számokra $\begin{array}{r}\lfloor x+y\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \text{ vagy }\lfloor x+y\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\ \lceil x+y\rceil =\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \text{ vagy }\lceil x+y\rceil =\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1.\end{array}$

A függvények kapcsolata

A definíciók alapján nyilván $\lfloor x\rfloor \le \lceil x\rceil$, ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész. Tehát

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =\{\begin{array}{ll}0,& \text{ha }x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ 1,& \text{ha }x\in ̸\mathbb{\mathbb{Z}}\end{array}.$

Az argumentum előjelét megváltoztatva az egészrész függvények egyike előjelváltással a másikra cserélhető, és fordítva. Ez így írható formálisan: $\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =\lceil x\rceil +\lfloor -x\rfloor =0$. Fennállnak továbbá a következő összefüggések is:

$\begin{array}{rl}& \{x\}+\{-x\}=\{\begin{array}{ll}0,& \text{ha }x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ +1,& \text{ha }x\in ̸\mathbb{\mathbb{Z}}\end{array},\\ & \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor =\{\begin{array}{ll}0,& \text{ha }x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ -1,& \text{ha }x\in ̸\mathbb{\mathbb{Z}}\end{array},\\ & \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil =\{\begin{array}{ll}0,& \text{ha }x\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ +1,& \text{ha }x\in ̸\mathbb{\mathbb{Z}}\end{array}.\end{array}$

A felső és az alsó egészrész, illetve a törtrész idempotens:

$\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor ;\lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil ;\{\{x\}\}=\{x\}.$

A két egészrész függvény összetevésével (kompozíciójával) visszakapjuk a belső függvényt, azaz $\lfloor \lceil x\rceil \rfloor =\lceil x\rceil$ és $\lceil \lfloor x\rfloor \rceil =\lfloor x\rfloor$.

Osztások

Ha m, n egészek és n ≠ 0, akkor

$0\le \left\{\frac{m}{n}\right\}\le 1-\frac{1}{|n|}.$

Ha n pozitív, akkor

$\begin{array}{r}\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\rfloor ,\\ \lceil \frac{x+m}{n}\rceil =\lceil \frac{\lceil x\rceil +m}{n}\rceil .\end{array}$

Ha m pozitív, akkor

$\begin{array}{r}n=\lceil \frac{n}{m}\rceil +\lceil \frac{n-1}{m}\rceil +\dots +\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil ,\\ n=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor .\end{array}$

m = 2-re sajátosan: $n=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lceil \frac{n}{2}\rceil$. Az ún. Hermite-azonosság szerint pozitív egész m-ek és valós x-ek esetén:

$\begin{array}{r}\lceil mx\rceil =\lceil x\rceil +\lceil x-\frac{1}{m}\rceil +\dots +\lceil x-\frac{m-1}{m}\rceil ,\\ \lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor x+\frac{m-1}{m}\rfloor .\end{array}$

Egész számlálójú, pozitív egész nevezőjű racionális számok esetén az egészrészek közötti áttérési összefüggések:

$\begin{array}{rl}& \lceil \frac{n}{m}\rceil =\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor =\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor +1,\\ & \lfloor \frac{n}{m}\rfloor =\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil =\lceil \frac{n+1}{m}\rceil -1.\end{array}$

Ha m és n is pozitív egész, és relatív prímek, akkor

$\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor k\cdot \frac{m}{n}\rfloor =\frac{1}{2}(m-1)(n-1).$

A jobb oldali kifejezés szimmetrikus m-ben és n-ben, ezért

$\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor k\cdot \frac{m}{n}\rfloor =\sum _{k=1}^{m-1}\lfloor k\cdot \frac{n}{m}\rfloor .$

Ennek egy általánosítása pozitív m-re és n-re, illetve tetszőleges valós x-re:

$\begin{array}{rl}& \lfloor \frac{x}{n}\rfloor +\lfloor \frac{m+x}{n}\rfloor +\lfloor \frac{2m+x}{n}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n}\rfloor =\\ =& \lfloor \frac{x}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+x}{m}\rfloor +\lfloor \frac{2n+x}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m}\rfloor .\end{array}$

Pozitív n-re és valós x, y-ra:

$\begin{array}{r}\lfloor \frac{1}{n}\cdot \lfloor \frac{x}{y}\rfloor \rfloor =\lfloor \frac{1}{n}\cdot \frac{x}{y}\rfloor ,\\ \lceil \frac{1}{n}\cdot \lceil \frac{x}{y}\rceil \rceil =\lceil \frac{1}{n}\cdot \frac{x}{y}\rceil .\end{array}$

Jellemzés

A felső és alsó egészrész, illetve a törtrész függvények nem folytonosak a teljes ℝ-en – szakadási pontjaik az egész számok. Nem párosak és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. A alsó egészrész és a törtrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos minden pontban. A szakadási pontok elsőfajúak – mindkét oldali határérték létezik és véges. Az egészrészek monoton növekvőek. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1. Ezek a függvények nem fejthetők Taylor-sorba, mivel nem folytonosak. Ezen kívül Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak. Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:

$xmody=\frac{y}{2}-\frac{y}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(\frac{2\pi kx}{y}\right)}{k},\text{ha }y\nmid x.$

Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:

$\{x\}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi kx)}{k},\text{ha }x\in ̸\mathbb{\mathbb{Z}}.$

A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart. Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával

$\lfloor x\rfloor =x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi kx)}{k}\text{ha }x\text{ nem egész}.$

Alkalmazások

Kapcsolat a modulo operátorral

A mod operátor (minden y ≠ 0 esetén) így definiálható:

$xmody=x-y\lfloor \frac{x}{y}\rfloor .$

x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel, ezért az y előjelétől függően $0\le xmody<y$ vagy $0\ge xmody>y$. Ha x egész és y pozitív, akkor

$(xmody)\equiv x(\mathrm{mod}y).$

Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.

Kvadratikus reciprocitás

Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll. Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen

$m=\frac{p-1}{2},n=\frac{q-1}{2}.$

Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra

$\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{q}{p}\rfloor +\lfloor \frac{2q}{p}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{mq}{p}\rfloor }$

és

$\left(\frac{p}{q}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{p}{q}\rfloor +\lfloor \frac{2p}{q}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{np}{q}\rfloor }.$

A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy

$\lfloor \frac{q}{p}\rfloor +\lfloor \frac{2q}{p}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{mq}{p}\rfloor +\lfloor \frac{p}{q}\rfloor +\lfloor \frac{2p}{q}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{np}{q}\rfloor =mn.$

Összetéve

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{mn}=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.$

Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:

$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{p+1}{4}\rfloor },$

$\left(\frac{3}{p}\right)=(-1{)}^{\lfloor \frac{p+1}{6}\rfloor }.$

Kerekítés

A pozitív számok egészekre kerekítése az $\lfloor x+0,5\rfloor$ függvénnyel, a negatív számoké az $\lceil x-0,5\rceil$ függvénnyel írható le.

Tizedesjegyek levágása

A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel: nem negatív egészekre $\lfloor x\rfloor$, nem pozitív egészekre pedig $\lceil x-1\rceil +1$. A szignumfüggvény felhasználásával: $\mathrm{sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor$.

Jegyek száma

Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben $\lfloor {\log }_{b}k\rfloor +1.$

Faktoriálisok prímtényezős felbontása

Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában:

$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^3}\rfloor +\dots$

Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!.

Beatty-sorozatok

A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre particionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.

Az Euler-konstans

Több képletben is együtt szerepel az egészrésszel a γ = 0,5772156649... Euler–Mascheroni-konstans:

$\begin{array}{rl}& \gamma =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx,\\ & \gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k}),\\ & \gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k}.\end{array}$

Riemann-féle zéta függvény

A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban. Parciális integrálással megmutatható, hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor

$\sum _{a<n\le b}\phi (n)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\phi (x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\{x\}-\frac{1}{2}){\phi }^{\prime }(x)dx+(\{a\}-\frac{1}{2})\phi (a)-(\{b\}-\frac{1}{2})\phi (b).$

Ha most φ(n) = n^−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:

$\zeta (s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{1}{2}-\{x\}}{x^{s+1}}dx+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}.$

Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van. A kritikus sávban levő s = σ + i t-re

$\zeta (s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }d\omega .$

1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.

Prímszámok

n akkor és csak akkor prím, ha

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{n}{m}\rfloor -\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor )=2.$

Legyen r > 1 egész, p_n az n-edik prím, és

$\alpha =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_m{r}^{-m^2}.$

Ekkor

$p_n=\lfloor r^{n^2}\alpha \rfloor -r^{2n-1}\lfloor r^{(n-1{)}^2}\alpha \rfloor .$

Van egy θ = 1,3064... szám (a Mill-konstans), hogy

$\lfloor {\theta }^3\rfloor ,\lfloor {\theta }^9\rfloor ,\lfloor {\theta }^{27}\rfloor ,\dots$

mind prímek. Van egy ω = 1,9287800... szám is, hogy

$\lfloor 2^{\omega }\rfloor ,\lfloor 2^{2^{\omega }}\rfloor ,\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\rfloor ,\dots$

mind prímek. Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:

$\pi (n)=\sum _{j=2}^n\lfloor \frac{(j-1)!+1}{j}-\lfloor \frac{(j-1)!}{j}\rfloor \rfloor .$

Tehát, ha n ≥ 2,

$\pi (n)=\sum _{j=2}^n\lfloor \frac{1}{\sum _{k=2}^j\lfloor \lfloor \frac{j}{k}\rfloor \frac{k}{j}\rfloor }\rfloor .$

Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.

Ramanujan problémái

Srínivásza Rámánudzsan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek: Ha n pozitív egész, akkor: (I)     $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +\lfloor \frac{n+2}{6}\rfloor +\lfloor \frac{n+4}{6}\rfloor =\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n+3}{6}\rfloor ,$ (II)     $\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{4}}\rfloor ,$ (III)     $\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2}\rfloor .$ Ezeket az állításokat sikerült belátni.

Megoldatlan kérdések

A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés: Van-e k, k ≥ 6 egész, hogy

$3^k-2^k\lfloor {\left(\frac{3}{2}\right)}^k\rfloor >2^k-\lfloor {\left(\frac{3}{2}\right)}^k\rfloor -2?$

Mahler belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.

Források

• ↑ Graham, Knuth, & Patashnik: Ronald L. Graham – Donald E. Knuth – Oren Patashnik: Concrete Mathematics. (angolul) Reading (Massachusetts): Addison–Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5  
• ↑ Lemmermeyer: Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. (angolul) Berlin: Springer Science+Business Media. 2000. ISBN 3-540-66957-4  
• ↑ Iverson: Kenneth E. Iverson: A Programming Language. (angolul) New York: John Wiley & Sons, Inc. 1962.  
• ↑ Higham: Nicholas J. Higham: Handbook of writing for the mathematical sciences. (angolul) Philadelphia (Pennsylvania): Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-420-6  
• ↑ Titchmarsh: Edward Charles Titchmarsh – David Rodney Heath-Brown: The Theory of the Riemann Zeta-function. (angolul) 2. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1986. ISBN 0-19-853369-1  
• ↑ Hardy & Wright: E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. (angolul) 5. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5 Hozzáférés: 2022. március 11.  
• ↑ Crandall & Pomerance: Richard Crandall – Carl Promerance: Prime Numbers: A Computational Perspective. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 2001. ISBN 0-387-94777-9 Hozzáférés: 2022. március 11.  
• ↑ Ribenboim: Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 1996. ISBN 0-387-94457-5  
• ↑ Ramanujan: Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. (angolul) Providence (Rhode Island): AMS / Chelsea. 2000. ISBN 978-0-8218-2076-6  

További információk

• Floor function (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Štefan Porubský: Integer rounding functions (angol nyelven). Cseh Tudományos Akadémia, 2007. április 1. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Eric W. Weisstein: Floor function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Eric W. Weisstein: Ceiling function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)