Valószínűségi áramsűrűség

A kvantummechanikában a valószínűségi áram (néha valószínűségi fluxus) a valószínűségi sűrűség áramlását írja le. Ha az ember a valószínűségi sűrűséget egy folyadéknak képzeli, akkor a valószínűségi áram ezen folyadék áramlásának erőssége (sűrűség szorozva a sebességgel).

Definíció

A valószínűségi áramot a következőképpen definiáljuk helybázison:

$\overrightarrow{j}=\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})$

ami kielégíti a kontinuitási egyenletet:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j}=0$

ahol a $\rho$ valószínűségi sűrűség definíciója:

$\rho =|\mathrm{\Psi }{|}^2$.

A divergenciatétel miatt a kontinuitási egyenlet a következő integrálegyenlettel ekvivalens:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV+\underset{S}{\int }\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dA}=0$

ahol $V$ tetszőleges térfogat és $S$ a határfelülete. Ez a kvantummechanika valószínűség-megmaradásának törvénye, ami azt fejezi ki, hogy a részecske megtalálási valószínűsége a $V$ térfogatban úgy növekszik, ahogy a valószínűség beáramlik.

Példák

Síkhullám

A háromdimenzióbeli síkhullám

$\mathrm{\Psi }=e^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}$

valószínűségi árama:

$\overrightarrow{j}=\frac{\hslash }{2mi}(e^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}-e^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{e}^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}})=\frac{\hslash \overrightarrow{k}}{m}.$

ami nem más, mint a részecske impulzusa

$\overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k}$

osztva a tömegével, azaz a "sebessége" (amennyibe a kvantummechanikai részecskeének van egyáltalán sebessége). Vegyük észre, hogy a valószínűségi áram nem nulla annak ellenére, hogy a síkhullámok stacionárius állapotok és így

$\frac{d|\mathrm{\Psi }{|}^2}{dt}=0$

mindenhol. Ez mutatja, hogy a részecske "mozgásban" lehet akkor is, ha a térbeli valószínűségi sűrűségének nincs explicit időfüggése.

Részecske egy dobozban

Tekintsük egy dimenzióban egy $L$ hosszúságú dobozban levő részecske energia sajátállapotait:

${\mathrm{\Psi }}_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)$

A kapcsolódó valószínűségi áram:

$j_n=\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}_n^{*}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n}{\partial x}-{\mathrm{\Psi }}_n\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n^{*}}{\partial x})=0$

mivel ${\mathrm{\Psi }}_n={\mathrm{\Psi }}_n^{*}.$

A kontinuitási egyenlet származtatása

Vezessük le a kontinuitási egyenletet a valószínűségi áram definíciójából és a kvantummechanika elveiből. Tegyük fel, hogy $\mathrm{\Psi }$ egy részecske hullámfüggvénye helybázison (azaz $\mathrm{\Psi }$ $x$, $y$, z $z$ függvénye). Ekkor

$P=\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV$

annak a valószínűsége hogy a részecske helymérése V-n belüli értéket ad. Ennek időderiváltja

$\frac{dP}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV=\underset{V}{\int }(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}{\mathrm{\Psi }}^{*}+\mathrm{\Psi }\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t})dV$

ahol $V$ alakjáról feltesszük, hogy nem függ az időtől. Vegyük az időfüggő Schrödinger-egyenletet

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }+V\mathrm{\Psi }$

és fejezzük ki belőle $\mathrm{\Psi }$ időderiváltját

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{i\hslash }{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\frac{i}{\hslash }V\mathrm{\Psi }$

Ezt helyettesítsük vissza az előző egyenletbe:

$\frac{dP}{dt}=-\underset{V}{\int }\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*})dV$.

Használjuk ki a következő azonosságot:

$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*}-\mathrm{\Psi }{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}$

és mivel az első és a harmadik tag kiejtik egymást:

$\frac{dP}{dt}=-\underset{V}{\int }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})dV$

Ha most vesszük $P$ eredeti kifejezését is és észrevesszük, hogy a divergenciaoperátor argumentuma éppen $\overrightarrow{j}$, akkor azt kapjuk, hogy:

$\underset{V}{\int }(\frac{\partial |\mathrm{\Psi }{|}^2}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j})dV=0$

ami a kontinuitási egyenlet integrálalakja. A differenciálalak abból következik, hogy ez az egyenlet minden $V$ térfogatra igaz, és ezért az integrandusnak mindenhol el kell tűnnie:

$\frac{\partial |\mathrm{\Psi }{|}^2}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j}=0.$

Hivatkozások

• Fizikai kézikönyv műszakiaknak Antal János (főszerkesztő) Műszaki könyvkiadó 1980 ISBN 963-10-3244-2
• Lev Davidovics Landau, Evgenij Mihajlovics Lifsic, Elméleti fizika III. - Kvantummechanika, Typotex 2009 ISBN 978-963-2791-30-2
• Nagy Károly, Kvantummechanika, Nemzedékek tudása tankönyvkiadó 2000 ISBN 9789631911275
• Apagyi Barnabás, Kvantummechanika Műegyetemi kiadó (2005)