Számelméleti függvények

Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis $$\begin{gathered} f: \\ \mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{ℂ} \end{gathered}$$ alakú függvényekről van szó.

Példák

Rengetegféle számelméleti függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány nevezetes függvény nevét (ha van) és jelét foglaljuk össze. (A továbbiakban jelölje $\mathbb{\mathbb{P}}$ a pozitív prímszámok halmazát.)

Egész értékű számelméleti függvények

jel	név (nevek)	jelentés	definitív képlet(ek)
d(n)	osztószám-függvény	az argumentum osztóinak száma	${\mathbb{\mathbb{N}}}^{+}\to \mathbb{\mathbb{N}};$ $d(n)$ := $$\begin{gathered} |\{k\in \mathbb{\mathbb{N}} \\ | \\ k|n\}| \end{gathered}$$ := $\sum _{d|n}{d}^0$
σ(n)	osztóösszeg-függvény (szigma-függvény)	az argumentum osztóinak összege	$$\begin{gathered} \mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}}; \\ \sigma (n) \\ := \\ \sum _{\begin{array}{c}{}_{d|n}\\ {}_{1\le d\le n}\end{array}}d \end{gathered}$$
s(n)	valódiosztóösszeg-függvény	az argumentum valódi osztóinak összege	$$\begin{gathered} \mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}}; \\ s(n) \\ := \\ \sum _{\begin{array}{c}{}_{d|n}\\ {}_{1\le d<n}\end{array}}d \end{gathered}$$
σx(n)	osztóhatványösszeg- függvény	az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege	$\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}}$; ${\sigma }_x(n)$ $:=$ $\sum _{\begin{array}{c}{}_{d|n}\\ {}_{1\le d\le n}\end{array}}{d}^x$ (x∈R)
P(n)	osztószorzat-függvény	az argumentum osztóinak szorzata	$$\begin{gathered} \mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}}; \\ P(n) \\ := \\ \prod _{\begin{array}{c}{}_{d|n}\\ {}_{1\le d\le n}\end{array}}d \end{gathered}$$
ν(n)	nű-függvény	az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva)	–
χ(n)	khí-függvény	az argumentum különböző prímtényezőinek száma	${\mathbb{\mathbb{N}}}^{+}\to \mathbb{\mathbb{N}};$ $\chi (n)$ := $$\begin{gathered} |\{p\in \mathbb{\mathbb{P}} \\ | \\ p|n\}| \end{gathered}$$ := $\sum _{\begin{array}{c}{}_{p|n}\\ {}_{p\in \mathbb{\mathbb{P}}}\end{array}}{p}^0$
φ(n)	Euler-függvény (fí-függvény)	az argumentumhoz relatív prím, nála nem nagyobb pozitív egészek száma	N→N; φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n  ∧  (n, k)=1 }│
μ(n)	Möbius-függvény (mű-függvény)	egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény	${\mathbb{\mathbb{N}}}^{+}\to \{-1,0,1\}$; $$\begin{gathered} \mu \\ (n) \end{gathered}$$ $:=$ $$\begin{gathered} \{\begin{array}{ll}1,& \text{ha }n=1;\\ (-1{)}^{\chi (n)},& \text{ha }n=p_1{p}_2...p_{\chi (n)};\\ 0,& \text{ha} \\ \mathrm{\exists }p\in \mathbb{\mathbb{P}}: \\ {p}^2|n\text{.}\\ \end{array} \end{gathered}$$
π(n)	diszkrét prímszámláló függvény	az argumentumnál nem nagyobb prímek száma	N→N; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│
g(n)	lnko-összeg-függvény	az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege	$$\begin{gathered} g(n) \\ := \\ \sum _{i=1}^n(n,i) \end{gathered}$$

Valós értékű számelméleti függvények

• A Λ(n) von Mangoldt-függvény: Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \Lambda(n) \ := \ \begin{cases} \ln p & \mbox{ha } \ \exists \left( p, k \right) \in \mathbb{P} \times \mathbb{N}^{+} : \ n = p^{k} ; \\ 0 & \mbox{egy} \acute{e} \mbox{bk} \acute{e}\mbox{nt.} \end{cases} }

Komplex értékű számelméleti függvények

• A Riemann-féle zéta-függvény
• Ha k pozitív egész, a mod(k) Dirichlet-karakterek fontos speciális függvényosztály.

Fontosabb fogalmak

Additivitás és multiplikativitás

• Egy $f$ számelméleti függvény additív, ha bármely $a,b\in \mathbb{\mathbb{N}}$, $(a,b)=1$ esetén $f(ab)=f(a)+f(b)$. Ha az $(a,b)=1$ feltétel elhagyható, akkor totálisan additív számelméleti függvényről beszélünk.
• Egy $f$ számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely $a,b\in \mathbb{\mathbb{N}}$, $(a,b)=1$ esetén $f(ab)=f(a)f(b)$. Ha az $(a,b)=1$ feltétel elhagyható, akkor totálisan multiplikatív számelméleti függvényről beszélünk.

Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció)

Két számelméleti függvény (Dirichlet-)konvolúcióját így definiálják:

$(f*g)(n):=\sum _{d\mid n}f\left(\frac{n}{d}\right)g(d),n\in \mathbb{\mathbb{N}},$

ahol d végigmegy n összes osztóján. Egy f számelméleti függvény összegfüggvénye megkapható a konstans 1 függvénnyel való konvolválással:

$F(n)=(f*I^0)(n)=\sum _{d\mid n}f(d),n\in \mathbb{\mathbb{N}}.$

ahol $I^0$ a konstans 1 függvény. $I^0$ invertálható a konvolválásra; inverze a Möbius-féle μ függvény. Ebből adódik a Möbius-féle megfordítási képlet, amivel az összegfüggvényből visszanyerhető a függvény. A konvolúcióra teljesülnek a következők:

• Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív
• Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem biztos, hogy teljesen multiplikatív
• Minden számelméleti függvény invertálható, ami az 1 helyen nem nulla
• Ez az inverz éppen akkor multiplikatív, ha az eredeti függvény is az
• Teljesen multiplikatív függvény inverze nem feltétlenül teljesen multiplikatív
• A konvolúció egységeleme a η függvény, amit így értelmeznek: η(1)=1, és η(n)=0, ha n>1.
• A számelméleti függvények algebrai struktúrája a komponensenkénti összeadásra, a skalárral szorzásra, és a konvolúcióra nézve:
  • komplex vektortér
  • integritási tartomány
  • algebra
• Ennek a struktúrának a multiplikatív csoportját azok a függvények alkotják, amik nem tűnnek el az 1 helyen.
  • Ennek valódi részcsoportja a multiplikatív függvények csoportja.

A konvolúció helyett a komponensenkénti szorzással is kommutatív algebrát alkotnak, ez azonban számelméletileg nem érdekes. Ez az algebra izomorf a komplex számsorozatok algebrájával.

Bell-sorozat

Ha f számelméleti függvény, és p adott prím, akkor f Bell-sorozata így definiálható modulo p:

$f_p(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(p^n)x^n.$

Belátható, hogy két számelméleti függvény azonos, ha összes Bell-sorozatuk megegyezik. Két számelméleti függvény egyenlő akkor és csak akkor, ha:

$f_p(x)=g_p(x)$ minden p prímre.

Jelölje most f és g konvolúcióját h. Ekkor minden p prímre:

$h_p(x)=f_p(x)g_p(x).$

Ezzel könnyű Dirichlet-invertálni a számelméleti függvényeket. Ha f teljesen multiplikatív, akkor:

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Néhány számelméleti függvény Bell-sorozata:

• A $\mu$ Möbius-függvényé ${\mu }_p(x)=1-x.$
• Az Euler-féle $\varphi$ függvényé ${\varphi }_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• A $\nu$ függvényé ${\nu }_p(x)=1.$
• A $\lambda$ Liouville-függvényé ${\lambda }_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• Az Id_k hatványfüggvényé $({\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Id</mrow>}}_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-p^{k}x}.$ Id_k a teljesen multiplikatív hatványfüggvény: ${\mathrm{Id}}_k(n)=n^k$.
• A ${\sigma }_k$ osztóösszeg-függvényé $({\sigma }_k{)}_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k)x+p^k{x}^2}.$

Források

• Freud–Gyarmati: Számelmélet
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

Külső hivatkozások

• W. W. L. Chen: Distribution of prime numbers (angol nyelvű PDF)