Eisenstein-egész

Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az $a+b\omega$ alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

az „első” harmadik egységgyök. Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel ${\omega }^2=-\omega -1$. Az Eisenstein-egészek így $\mathbf{Z}[\omega ]$-val jelölt gyűrűt alkotnak. Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a $\mathbf{Q}(\sqrt{-3})=\{a+b\omega :a,b\in \mathbf{Q}\}$ számtestbe eső algebrai egészek.

Norma

Az $a+b\omega$ Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

$N(a+b\omega )=(a+b\omega )(a+b{\omega }^2)=a^2-ab+b^2$

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak $a=b=0$ esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz $N(xy)=N(x)N(y)$ mindig teljesül.

Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek

Hat Eisenstein-egész normája egy: $1,-1,\omega ,-\omega ,{\omega }^2,-{\omega }^2$. Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. $1-\omega$ Eisenstein-prím és $3=-{\omega }^2(1-\omega {)}^2$. Ha p közönséges prím és $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ akkor $p=\pi \bar{\pi }$ egy alkalmas $\pi$ Eisenstein-prímre. Így például, $7=(3+\omega )(2-\omega )$.

Egyértelmű prímfaktorizáció

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így $\mathbf{Z}[\omega ]$ euklideszi gyűrű: ha $a,b\in \mathbf{Z}[\omega ]$, $b\ne 0$ akkor létezik $q$ és $r$, hogy $a=bq+r$ és $N(r)<N(b)$. Innen adódik, hogy $\mathbf{Z}[\omega ]$-ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi =xy$ esetén x vagy y asszociáltja $\pi$-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon $\pi$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy $\pi \mid xy$ esetén $\pi \mid x$ vagy $\pi \mid y$ teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható $x={\pi }_1\cdots {\pi }_r$ alakban, ahol ${\pi }_1,\dots ,{\pi }_r$ prímelemek, továbbá, ha $x={\rho }_1\cdots {\rho }_s$ egy másik felírás, akkor $s=r$ és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re ${\rho }_j$ asszociáltja ${\pi }_j$-nek.

Lásd még

• algebrai számelmélet
• Gauss-egész

Források

Freud-Gyarmati: Számelmélet