Hasított komplex számok

Hasított-komplex szorzás

×	1	j
1	1	j
j	j	1

Az absztrakt algebrában a hasított komplex számok (hiperbolikus számok, perplex számok, kettős számok) a komplex számokhoz hasonlóan valós és képzetes részből állnak, de itt a képzetes egység négyzete nem -1, hanem 1. Jelben $z=x+yj,j^2=+1.$ z konjugáltja z* = x - y j. Mivel j² = +1, $z{z}^{*}=x^2-y^2,$, izotropikus kvadratikus alak, $N(z)=x^2-y^2.$ A hasított komplex számok halmazát D jelöli, ami a szokásos műveletekkel gyűrű a valós számok fölött. Ha w és z hasított komplex számok, akkor szorzatuk eleget tesz az $N(wz)=N(w)N(z)$ egyenlőségnek. N kompozíciós tulajdonsága a szorzásra kompozíciós algebrává teszi a ( D , +, ×, * ) testet. Az R² vektortér hasonló struktúrát alkot a komponensenkénti műveletekkel és a kvadratikus alakokkal. Ez a struktúra (R², +, ×, xy), ami kvadratikus tér. A :$$\begin{gathered} D\to R^2 \\ \text{by} \\ x+yj\mapsto (x+y,x-y) \end{gathered}$$ gyűrűizomorfizmus arányosan viszonyítja a kvadratikus alakokat, de ez a leképezés nem izometria, mivel R²-ben az (1,1) egység távolsága a nullától √2, ami normalizálva van D -ben.

Definíció

A hasított komplex számok alakja

$z=x+jy$

ahol x és y valós számok, j pedig olyan, hogy

$j^2=+1$

és j független a valós számoktól és a komplex számok képzetes egységétől. Az $j^2=-1$ választás a komplex számokhoz vezet. Az asszociált bilineáris alak

$⟨z,w⟩=\mathrm{Re}(z{w}^{*})=\mathrm{Re}(z^{*}w)=xu-yv,$

ahol z = x + j y és w = u + j v. A modulus ekvivalens alakja

$\Vert z\Vert =⟨z,z⟩.$

Mivel nem pozitív definit, nem skalárszorzat; ennek ellenére indefinit skalárszorzatnak is nevezik. Egy másik, a matematikai igényességgel össze nem férő szóhasználat normaként hivatkozik a modulusra. A hasított komplex számok halmazát hasított komplex síknak nevezik. Az összeadás és a szorzás így végezhető:

$(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)$

$(x+jy)(u+jv)=(xu+yv)+j(xv+yu).$

Mindkét művelet kommutatív, asszociatív, és a szorzás disztributív az összeadásra.

Konjugált, modulus, invertálhatóság

Ahogy a komplex számoknál, úgy a hasított komplex számoknál is definiálható a konjugált. A

$z=x+jy$

hasított komplex szám konjugáltja

$z^{*}=x-jy.$

Tulajdonságai hasonlítanak a komplex konjugálthoz. Azaz

$(z+w{)}^{*}=z^{*}+w^{*}$

$(zw{)}^{*}=z^{*}{w}^{*}$

$(z^{*}{)}^{*}=z.$

Az z = x + j y hasított komplex szám modulusa az izotropikus kvadratikus alakkal számítható:

$\Vert z\Vert =z{z}^{*}=z^{*}z=x^2-y^2.$

Kompozíciós algebra tulajdonsága van:

$\Vert zw\Vert =\Vert z\Vert \Vert w\Vert .$

Ennek szignatúrája (1, −1), ezért nem pozitív definit, így ez nem norma matematikai értelemben. Egy hasított komplex szám invertálható akkor és csak akkor, ha ($\Vert z\Vert \ne 0$), így az x ± j x alakú hasított komplex számoknak nincs inverze. A nem invertálható elemeket null vektoroknak nevezik. Az invertálható elemek multiplikatív inverze:

$z^{-1}=z^{*}/\Vert z\Vert .$

Átlós bázis

Az e = (1 − j)/2 és az e^∗ = (1 + j)/2 elemek a gyűrű nem triviális idempotens elemei. Ez azt jelenti, hogy ee = e és e^∗e^∗ = e^∗. Mindkét elem null:

$\Vert e\Vert =\Vert e^{*}\Vert =e^{*}e=0.$

Gyakran kényelmes az e és e^∗ elemekből alkotott bázist használni. Ennek elnevezése null bázis vagy átlós bázis. Ha z hasított komplex szám, akkor a null bázisban:

$z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}.$

Ha az a és a b számokra a z = ae + be^∗ számot (a, b) jelöli, akkor a hasított komplex szorzás

$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1{a}_2,b_1{b}_2).$

Ez a bázis megmutatja, hogy a hasított komplex számok az R ⊕ R vektortérrel gyűrű izomorfizmusban állnak. A konjugálás eredménye:

$(a,b{)}^{*}=(b,a)$

és a modulus:

$\Vert (a,b)\Vert =ab.$

Habár a gyűrűknek ugyanabba az izomorfizmusosztályába tartoznak, a hasított komplex sík és a direkt összeg lényegesen különbözik egymástól Az izomorfizmus egy 45 fokos forgatás és egy négyzetgyök kettővel való nyújtás egymásutánja. Ez utóbbi néha zavart okoz a hiperbolaszeletek területének kiszámításában. A hiperbolikus szög megfelel az $\mathbf{R}\oplus \mathbf{R}$ szektorainak területével, ahol $\{(a,b)\in \mathbf{R}\oplus \mathbf{R}:ab=1\}.$ Az összenyomott egységkör, $$\begin{gathered} \{\cosh a+j \\ \sinh a:a\in \mathbf{R}\} \end{gathered}$$ területe fele a megfelelő hiperbolikus szektor területének. A zavart csak fokozza, ha nem különböztetik meg a két gyűrű geometriáját.

Geometria

Egységhiperbola, ||z||=1 (kékkel),
konjugált hiperbolája ||z||=−1 (zölddel),
és aszimptotái, ||z||=0 (pirossal)

A kétdimenziós valós vektortér a Minkowski-féle skalárszorzattal ellátva (1 + 1) dimenziós Minkowski-teret alkot, amit gyakran R^1,1 jelöl. Ahogy az euklideszi sík, R² geometriája leírható a komplex számokkal, úgy a Minkowski-tér geometriája, R^1,1 leírható a hasított komplex számokkal. Az

$\{z:\Vert z\Vert =a^2\}$

pontok halmaza hiperbola, minden a eleme R esetén. Jobb és bal ága rendre átmegy a (a, 0) és a (−a, 0) pontokon. Az a = 1 esetben ez az egységhiperbola. A konjugált hiperbola

$\{z:\Vert z\Vert =-a^2\}$

aminek felső és alsó ága rendre a (0, a) és a (0, −a) pontokon halad át. A hiperbolát és konjugált hiperboláját átlós egyenesek választják el, amelyek null elemekből állnak:

$\{z:\Vert z\Vert =0\}.$

A két egyenes, amit null kúpnak is neveznek, merőleges R²-ben, és meredekségük ±1. Ha z és w hasított komplex számok, akkor ortogonálisak, ha <z, w> = 0. Két ortogonális hasított komplex szám bázist alkot. Az Euler-formulához hasonló formula a hasított komplex számokra is értelmezhető:

$\exp (j\theta )=\mathrm{ch}(\theta )+j\mathrm{sh}(\theta ).$

Ez származtatható a hatványsorokból, mivel sh hatványsorában csak páratlan, ch hatványsorában csak páros fokú tagok együtthatója különbözik nullától. Minden θ hiperbolikus szögre a λ = exp(jθ) hasított komplex szám modulusa 1, és az egységhiperbola jobb ágán helyezkedik el. Ezek a 'λ' számok hiperbolikus versorok. A velük való szorzás hiperbolikus forgatásnak felel meg, mivel modulusuk 1. Ez megőrzi a geometriai szerkezetet, hiperbolát hiperbolába visz, és a null kúpot is megőrzi. A modulust megőrző transzformációk csoportot alkotnak, ez az O(1, 1) általános ortogonális csoport. Ennek részcsoportja SO⁺(1, 1), ami az 1 modulusú hasított komplex számokkal való szorzást jelenti. Az általános ortogonális csoport ebből úgy kapható, ha bővítünk az

$z\mapsto \pm z$ és $z\mapsto \pm z^{*}$ diszkrét tükrözésekkel.

A z

$\exp :(\mathbb{ℝ},+)\to {\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(1,1)$

leképezés a θ hasított komplex számot az exp(jθ)-val való forgatásba küldi. Ez csoportizomorfizmus, mivel a szokásos exponenciális formulával:

$e^{j(\theta +\varphi )}=e^{j\theta }{e}^{j\varphi }.$

Ha a z hasított komplex szám nem nullelem, akkor z-nek van poláris felbontása.

Algebra

A hasított komplex számok az absztrakt algebrai leírásban az R[x] polinomgyűrű és az x² − 1 által generált ideál hányadosgyűrűje, R[x]/(x² − 1). Ebben a megfeleltetésben az x határozatlan képe a j képzetes egység. Ebben a megfogalmazásban azonnal látható, hogy a hasított komplex számok gyűrűje kommutatív, és karakterisztikája 0. A skalárral szorzást a szokott módon definiálva kétdimenziós asszociatív algebrát kapunk a valós számok fölött. Habár egységelemes, ez a gyűrű nem integritási tartomány vagy test a nullosztók miatt. Mivel az összeadás és a szorzás folytonos a sík szokásos topológiájával, ezért ezzel a topológiával topologikus gyűrűt alkot. A hasított számok algebrája kompozíciós algebrát alkot, mivel :$\Vert zw\Vert =\Vert z\Vert \Vert w\Vert$  minden z és w hasított komplex számra. A definíció alapján nyilvánvaló, hogy izomorf az R[C₂] gyűrűvel, ahol C₂ ciklikus csoport a valós számok fölött.

Mátrixreprezentáció

Kommutatív diagram a hiperbolikus versor hatásával a D gyűrűn a σ leképezésre R²-en

A $z=x+jy$ reprezentálható, mint

$z\mapsto \left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array}\right).$

A reprezentációban a műveletek a mátrixokkal végzett műveleteknek felelnek meg. A modulus éppen a mátrix determinánsa. A konjugálás a

$C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

mátrixszal vett kétoldali szorzás. Bármely valós a számra az a hiperbolikus szöggel való forgatás leírható a

$\left(\begin{array}{cc}\cosh a& \sinh a\\ \sinh a& \cosh a\end{array}\right).$

mátrixszal végzett szorzással. Ha a $z=x+jy$ hasított komplex számot az (x, y) pár jelzi, akkor az átlós bázisra való áttérés:

$(u,v)=(x,y)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=(x,y)S.$

Most a kvadratikus alak $uv=(x+y)(x-y)=x^2-y^2.$ Továbbá

$(\cosh a,\sinh a)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=(e^a,e^{-a})$

így két paraméterezett hiperbola hozható kapcsolatba S-sel. Így az $e^{bj}$ hiperbolikus verzor hatása az

$\sigma :(u,v)\mapsto (ru,v/r),r=e^b.$

hasonlósági transzformációnak felel meg. Jegyezzük meg, hogy a hasított komplex számoknak már a 2 x 2-es mátrixok körében is léteznek más reprezentációi. A fenti átlós prezentáció a hasított komplex számok fenti reprezentációja Jordan-normálalakban. A z = (x, y) hasított komplex szám esetén:

$Z=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array}\right).$

Jordan-normálalakja:

$J_z=\left(\begin{array}{cc}x+y& 0\\ 0& x-y\end{array}\right),$

ahol $$\begin{gathered} Z=S{J}_z{S}^{-1} \\ , \end{gathered}$$ és

$S=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right).$

Források

• Bencivenga, Uldrico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR0021123.
• Benz, W. (1973)Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
• N. A. Borota, E. Flores, and T. J. Osler (2000) "Spacetime numbers the easy way", Mathematics and Computer Education 34: 159-168.
• N. A. Borota and T. J. Osler (2002) "Functions of a spacetime variable", Mathematics and Computer Education 36: 231-239.
• K. Carmody, (1988) "Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions", Appl. Math. Comput. 28:47–72.
• K. Carmody, (1997) "Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions – further results", Appl. Math. Comput. 84:27–48.
• William Kingdon Clifford,Mathematical Works (1882) edited by A.W.Tucker,pp. 392,"Further Notes on Biquaternions"
• V.Cruceanu, P. Fortuny & P.M. Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83–115, link from Project Euclid.
• De Boer, R. (1987) "An also known as list for perplex numbers", American Journal of Physics 55(4):296.
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118–29.
• F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
• Hazewinkle, M. (1994) "Double and dual numbers", Encyclopaedia of Mathematics, Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect.
• Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, pp 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR2014924
• C. Musès, "Applied hypernumbers: Computational concepts", Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211–226.
• C. Musès, "Hypernumbers II—Further concepts and computational applications", Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45–66.
• Olariu, Silviu (2002) Complex Numbers in N Dimensions, Chapter 1: Hyperbolic Complex Numbers in Two Dimensions, pages 1–16, North-Holland Mathematics Studies #190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7.
• Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) "Fundamental theorems of algebra for the perplexes", The College Mathematics Journal 40(5):322–35.
• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, translated by E. Primrose from 1963 Russian original, Academic Press, pp. 18–20.
• J. Rooney.szerk.: Marco Ceccarelli and Victor A. Glazunov: Generalised Complex Numbers in Mechanics, Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-07058-2_7 (2014). ISBN 978-3-319-07058-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Split-complex number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.