A holomorf függvények identitástétele

A komplex analízisben a holomorf függvények identitástétele azt állítja, hogy ha f és g holomorf ugyanazon a D tartományon, továbbá f = g D egy nem üres nyílt részhalmazán, f = g teljes D-ben. Sőt, az is igaz, hogy ha $f$ és $g$ holomorf, $z_0$ komplex szám egy $U$ környezetben, továbbá $z_0$ a $\{z\in U\mid f(z)=g(z)\}$ halmaz torlódási pontja, akkor $z_0$-nak van egy másik környezete, ahol minden pontban $f(z)=g(z)$. Ez egy erős állítás, ugyanis a részhalmaz kicsi is lehet a teljes D-hez viszonyítva. Ehhez nem elég, hogy a függvények valós értelemben differenciálhatók legyenek. Informálisan, a folytonos vagy valós értelemben differenciálható függvények lágyak, a holomorfak kemények.

Példák

A tétel állítása az első változatban nem teljesül, ha az alaphalmaz nem összefüggő. Ez könnyen belátható. A második változatban lényeges, hogy a torlódási pont a környezet belsejében, és ne a szélén legyen: Tekintjük a $\sin (\frac{1}{z})$ függvényt, ami holomorf a $\mathbb{ℂ}\setminus \{0\}$ tartományon. A tartományban van a $z_n=\frac{1}{n\pi }$ sorozat, ami a nullához tart. A nulla torlódási pontja is a sorozatnak, és $\sin (\frac{1}{z_n})=\sin (n\pi )=0$, de az is teljesül, hogy $\sin (\frac{1}{z})\equiv ̸0$. Azaz $\sin (\frac{1}{z})$ egyenlő nullával a $z_n$ pontokban, de nem a teljes pontozott síkon.

Következmények

Fontos következmény a valós függvények folytathatósága. Azaz, ha egy függvény kiterjeszthető holomorf módon a komplex számsíkra, akkor ez a kiterjesztés egyértelmű. Így például a valós szinuszfüggvény kiterjesztése a komplex szinuszfüggvény. Emellett erre is érvényesek az addíciós tételek, de a korlátosság nem, ahogy azt a Liouville-tétel mutatja. Egy másik alkalmazásban $g=0$: Ha $G$ tartomány, $f$ holomorf, és $f$ nullhelyeinek van torlódási pontja, akkor $f\equiv 0$ a teljes $G$ tartományon. Ha $G$ tartomány, akkor az itt holomorf függvények nullosztómentes gyűrűt alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha $fg\equiv 0$, akkor $f\equiv 0$ vagy $g\equiv 0$. Legyen $f,g:G\to \mathbb{ℂ}$ holomorf, továbbá $f\equiv ̸0$ és $fg\equiv 0$. Ekkor van egy $z_0$ pont $G$-ben, és ennek egy $U$ környezete, hogy $f(z)\ne 0$ minden $z\in U$ esetén. Ekkor azonban a fenti speciális eset miatt $g{|}_U\equiv 0$.

Bizonyítás

A tétel élesíthető, mivel a tartományok összefüggők.

Állítás

Legyen $G\subseteq \mathbb{ℂ}$ tartomány, és ezen $f$ és $g$ holomorf függvények. A következők ekvivalensek:

1. $f(z)=g(z)$ minden $z\in G$ esetén.
2. Az $\{z\in G\mid f(z)=g(z)\}$ halmaznak torlódási pontja van $G$-ben.
3. Van egy $z\in G$, úgy, hogy $f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)$ minden $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$ esetén, azaz van egy $G$ pont, ahol a függvények és összes deriváltjaik egyeznek.

Bizonyítás

Először is feljegyezzük azt, hogy a holomorf függvények analitikusak, azaz a tartomány minden pontjának egy környezetében Taylor-sorba fejthetők. A 2. azonnal következik az elsőből, hiszen a tartomány minden pontja torlódási pont. A 3. indirekt bizonyítható a 2.-ból. Jelölje $z_0$ a 2.-ban jelzett halmaz torlódási pontját! Feltehető, hogy $z_0=0.$ Feltesszük továbbá, hogy van $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0$, hogy $f^{(n)}(0)\ne g^{(n)}(0)$. Legyen $N$ ezek közül a legkisebb! Ekkor nulla egy környezetében $f(z)-g(z)=z^{N}h(z)$, hogy $h(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(N+n)}(0)-g^{(N+n)}(0)}{(N+n)!}{z}^n$ és $h$ nullhelyeinek halmaza éppen az a halmaz, ahol a két függvény egybeesik, mivel $h$ folytonos. Továbbá $0=h(0)=\frac{f^{(N)}(0)-g^{(N)}(0)}{N!}$ ellentmond $N$ minimális voltának. Az 1. következik a 3.-ból. Ennek belátásához hivatkozunk a tartomány összefüggőségére. Elég azt megmutatni, hogy $A=\{z\in G|\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0:f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\}$ nem üres, zárt és nyílt $G$-ben. Az első következik az előfeltevésből. A második látható abból, hogy $A=\bigcap _{n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0}{A}_n$, ahol $A_n=\{z\in G|f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\}=(f^{(n)}-g^{(n)}{)}^{-1}(\{0\})$ a $\{0\}$ zárt halmaz folytonos ősképeként zárt kell, hogy legyen, és zárt halmazok metszete zárt. Végül $A$ nyílt, hiszen ha $z\in A$, akkor $f-g$ analitikus függvény, $z$ egy környezetében előáll Taylor-sorából, ami azonosan nulla. Ezek a környezetek részei $A$-nak.

Források

• E. Freitag & R. Busam - Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Identitätssatz für holomorphe Funktionen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.