Auerbach-bázis

Egy Auerbach-bázis a lineáris algebrában és funkcionálanalízisben egy normált vektortér lineárisan független részhalmaza, ami megfelel bizonyos tulajdonságoknak. Nevezetesen: Legyen $X$ normált vektortér; ekkor $A\subseteq X$ Auerbach-bázisa $X$-nek, ha:

• Az $A$ halmaz lineáris burka sűrű $X$-ben;
• Minden $a\in A$ esetén $\Vert a\Vert =\inf \{\Vert a-b\Vert :b\in [A\setminus \{a\}]\}$, ahol $[B]$ a $B$ halmaz lineáris burkának lezártja;
• $A$ elemei lineárisan függetlenek egymástól; ez a feltétel következik az előbbiektől.

Egy $A$ Auerbach-bázis normált Auerbach-bázis, ha minden elemének normája 1.

Motiváció és történet

Minden véges dimenziós Hilbert-térben akkor és csak akkor teljesül

$\Vert x\Vert =\inf \{\Vert x-y\Vert :y\in [B]\}$,

ha az $x$ vektor iránya normális a $B$ által generált altérre. Ebben az értelemben a normált Auerbach-bázis az ortonormális bázis fogalmának általánosítása. Auerbach 1929-ben írt értekezésében definiálta a fogalmat. Stefan Banach egy 1932-ben írt monográfiája megemlítette ezt a disszertációt.

Ekvivalens definíciók

Egy X Banach-térben egy A halmaz pontosan akkor normált Auerbach-bázis, ha:

• $[A]=X$.
• minden $a\in A$-ra $a\notin [A\setminus \{a\}]$
• minden $a\in A$ esetén $\Vert a\Vert =1$
• létezik $X$-en értelmezett folytonos lineáris funkcionáloknak egy $\{f_a:a\in A\}$ halmaza úgy, hogy

• $f_a(b)={\delta }_{ab}$ minden $a,b\in A$ esetén. Itt ${\delta }_{ab}$ a Kronecker-delta.
• $\Vert f_a\Vert =1$ minden $a\in A$-re.

A Hahn–Banach-tétellel bizonyítható. Véges dimenziós esetben az első két feltétel azt jelenti, hogy ez egy lineárisan független halmaz. Az Auerbach-lemma szerint véges dimenziós normált vektortérben mindig létezik Auerbach-bázis.

Források

• Herman Auerbach: O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych (Über Flächen von konvexen Kurven mit konjugierten Durchmessern), Dissertation an der Universität Lwów (1929; auf polnisch).
• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, herausgegeben von M. Garasiński, Warschau 1932.
• Bartoszyński et al.: On bases in Banach spaces. Studia Math. 170 (2005), no. 2, 147–171.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg/New York 2005, ISBN 3540213813

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Auerbachbasis című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.