Einstein-tenzor

Innen: Hungaropédia
Ugrás a navigációhozUgrás a kereséshez

A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét.[1] Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.[2]

Meghatározás

Az Einstein-tenzor (G) egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:

G=R12gR,

ahol R a Ricci-tenzor, g a metrikus tenzor és R a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:

Gμν=Rμν12gμνR.

Az Einstein-tenzor szimmetrikus:

Gμν=Gνμ

és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes

Gμν;ν=0.

Explicit kifejezés

A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:

Gαβ=Rαβ12gαβR=Rαβ12gαβgγζRγζ=(δαγδβζ12gαβgγζ)Rγζ=(δαγδβζ12gαβgγζ)(Γγζ,ϵϵΓγϵ,ζϵ+ΓϵσϵΓγζσΓζσϵΓϵγσ),

ahol δβα a Kronecker-tenzor és a Christoffel-szimbólum Γβγα meghatározása:

Γβγα=12gαϵ(gβϵ,γ+gγϵ,βgβγ,ϵ).

Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltűnnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerűsödik:

Gαβ=gγμ[gγ[β,μ]α+gα[μ,β]γ12gαβgϵσ(gϵ[μ,σ]γ+gγ[σ,μ]ϵ)]=gγμ(δαϵδβσ12gϵσgαβ)(gϵ[μ,σ]γ+gγ[σ,μ]ϵ),

ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:

gα[β,γ]ϵ=12(gαβ,γϵgαγ,βϵ).

Nyom

Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor (gμν) definíciója egyenletének összevonásával: n dimenzióban:

gμνGμν=gμνRμν12gμνgμνRG=R12(nR)G=2n2R

A 4 dimenzió speciális esete adja a G-t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív R, a Ricci-tenzor nyoma. Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.

Felhasználása az általános relativitáselméletben

Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:

Gμν=8πGc4Tμν.

mely a geometria egységrendszerben:

Gμν=8πTμν.

Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nemlineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerűen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:

μGμν=0.

Irodalom

  • Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini: Gravitation and Spacetime (Second edition ed.). (hely nélkül): W. W. Norton & Company. 1994. ISBN 0-393-96501-5  
  • Martin, John Legat: Gravitation General Relativity: A First Course for Physicists. (hely nélkül): Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edition ed.). Prentice Hall. 1995. ISBN 0-13-291196-5  
  • Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
  • Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
  • Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. http://www.slideshare.net/nagygp/a-differencilgeometria-alapjai
  2. Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. [2016. október 27-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2006. szeptember 12.)