Khí-négyzet-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a k szabadságfokú khí-négyzet-eloszlás (más neveken: khi-négyzet, Khi2) k darab független normális eloszlású valószínűségi változónak a négyzetösszege. Ez az eloszlás széles körben használatos a valószínűség-eloszlások között, a statisztikai területén, például a hipotézisek ellenőrzésekor, vagy egy konfidenciaintervallum létrehozásakor.^[1]^[2]^[3]^[4] Ha szükséges a khí-négyzet-eloszlást megkülönböztetni a nem-centrális khí-négyzet-eloszlástól, akkor szokták néha centrális khí-négyzet-eloszlásnak is nevezni. A khí-négyzet-eloszlást statisztikák ellenőrzésére használják az elméleti és a megfigyelt értékek kiértékelésénél, összehasonlításánál. A khí-négyzet-eloszlás a gamma-eloszlás egy speciális esete.

Definíció

Ha Z₁, ..., Z_k független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, akkor a négyzeteik összege,

Q = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}^{2},

a khí-négyzet-eloszlás szerint oszlik el, k szabadságfokkal. Ezt a következőképpen is jelölik:

Q \sim χ^{2} (k) vagy Q \sim χ_{k}^{2} .

A khi-négyzet-eloszlásnak egy paramétere van, a k, egy pozitív egész, mely a szabadságfok mértéke.

Valószínűség-sűrűségfüggvény

A khí-négyzet-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

f (x; k) = {\begin{cases} \frac{x^{(k / 2) - 1} e^{- x / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})}, & x \geq 0; \\ 0, & más esetben . \end{cases}

ahol Γ(k/2) a gamma-eloszlást jelöli.

Kumulatíveloszlás-függvény

A kumulatíveloszlás-függvény:

F (x; k) = \frac{γ (\frac{k}{2}, \frac{x}{2})}{Γ (\frac{k}{2})} = P (\frac{k}{2}, \frac{x}{2}),

Ahol γ(k,z) az inkomplett gamma-függvény és a P(k,z) a rendezett gamma-függvény . Abban a speciális esetben, amikor k = 2, létezik egy egyszerű képlet:

F (x; 2) = 1 - e^{- \frac{x}{2}} .

Ennek az eloszlásnak a táblázatai – rendszerint kumulatív formában – számos helyen megtalálhatók, általában statisztikai csomagokban. Egy zárt formájú közelítés található a nem-centrális khí-négyzet-eloszlásnál.

Additivitás

A khí-négyzet-eloszlás definíciója szerint a független khí-négyzet-változók összege is khí-négyzet-eloszlású. Speciálisan, ha {X_i}_i=1ⁿ független khí-négyzet-eloszlású változók {k_i}_i=1ⁿ szabadságfokkal, akkor Y = X₁ + ⋯ + X_n is khí-négyzet-eloszlásúak k₁ + ⋯ + k_n szabadságfokkal.

Az információ entrópiája

Az információ entrópiája:

H = \int_{- \infty}^{\infty} f (x; k) \ln f (x; k) d x = \frac{k}{2} + \ln (2 Γ (\frac{k}{2})) + (1 - \frac{k}{2}) ψ (\frac{k}{2}),

ahol ψ(x) a digamma-függvény. A khí-négyzet-eloszlás az X valószínűségi változó maximális entrópiájú valószínűség-eloszlása, ahol $E (X) = ν$ rögzített és $E (\ln (X)) = ψ (\frac{1}{2}) + \ln (2)$ is rögzített.^[5]

Nem centrális momentumok

A k szabadságfokú khí-négyzet-eloszlás zéró körüli momentumai:^[6]^[7] $E (X^{m}) = k (k + 2) (k + 4) \dots (k + 2 m - 2) = 2^{m} \frac{Γ (m + \frac{k}{2})}{Γ (\frac{k}{2})} .$

Kumulánsok

A kumulánsok a karakterisztikus függvény logaritmusának egy hatványsor-kiterjesztésével kaphatók meg:

κ_{n} = 2^{n - 1} (n - 1)! k

Aszimptotikus tulajdonságok

A centrális határeloszlás tételéből következően mivel a khi-négyzet-eloszlás független k szabadságfokú valószínűségi változók szummája, véges átlaggal és szórásnégyzettel, konvergál a normális eloszláshoz nagy k értékeknél. Praktikus okok miatt k > 50 esetben az eloszlás elég közel áll a normális eloszláshoz, hogy a különbség elhanyagolható lehessen.^[8] Ha X ~ χ²(k), akkor k tart a végtelenhez, a $(X - k) / \sqrt{2 k}$ eloszlás pedig a normális eloszlás felé tart. Azonban ez a konvergencia lassú, mivel a ferdeség $\sqrt{8 / k}$ , és az eloszlásgörbe meredeksége 12/k. A khí-négyzet-eloszlás más függvényei jóval gyorsabban konvergálnak a normális eloszláshoz. Néhány példa:

Ha X ~ χ²(k), akkor $\sqrt{2 X}$ közel normálisan eloszlású, $\sqrt{2 k - 1}$ középértékkel.
Ha X ~ χ²(k), akkor $\sqrt[3]{X / k}$ közel normálisan eloszlású $1 - 2 / (9 k)$ középértékkel és $2 / (9 k) .$ szórásnégyzettel^[9] Ezt Wilson–Hilferty-transzformációnak hívják.

Kapcsolódó eloszlások

$\lim_{k \to \infty} \frac{χ_{k}^{2} (x) - μ_{k}}{σ_{k}} \overset{d}{\to} N (0, 1)$ (normális eloszlás)
$χ_{k}^{2} \sim {χ^{'}}_{k}^{2} (0)$ (nem-centrális khí-négyzet-eloszlás nem-centralitás paraméterrel $λ = 0$ )
Khí-négyzet-eloszlás, a Pareto-eloszlás egy transzformációja
T-eloszlás, a khí-négyzet-eloszlás egy transzformációja
A T-eloszlás származtatható a khí-négyzet-eloszlásból és a normális eloszlásból
A nem-centrális T-eloszlás származtatható a khí-négyzet-eloszlásból és a normális eloszlásból

Statisztikailag független egységnyi szórásnégyzetes Gauss-eloszlású változók négyzeteinek szummája, melynek nincs zéró középértéke, a khí-négyzet-eloszlás általánosításához vezet, és nem-centrális khi-négyzet-eloszlásnak hívják. A khí-négyzet-eloszlás természetesen kapcsolódik más eloszlásokhoz, melyeknek a Gauss-eloszláshoz van közük. Például:

Y F-eloszlású, Y ~ F(k₁,k₂) ha $Y = \frac{X_{1} / k_{1}}{X_{2} / k_{2}}$ ahol X₁ ~ χ²(k₁), és X₂ ~ χ²(k₂) statisztikailag független.
Ha X khí-négyzet-eloszlású, akkor $\sqrt{X}$ khí-eloszlású.
Ha X₁ ~ χ²_k₁ és X₂ ~ χ²_k₂ statisztikailag független, akkor X₁ + X₂ ~ χ²_k₁+k₂. Ha X₁ and X₂ nem függetlenek, akkor X₁ + X₂ nem khí–eloszlású.

Általánosítás

A khí-négyzet-eloszlást a gaussi k, független, zéró középértékű, egységnyi szórásnégyzetű valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk. Ennek az eloszlásnak az általánosítását úgy kaphatjuk, ha összegezzük más típusú gaussi valószínűségi változók négyzeteit. A következőkben bemutatunk néhány ilyen eloszlást.

Khí-négyzet-eloszlások

Nem-centrális khí-négyzet-eloszlás

A nem-centrális khí-négyzet-eloszlást a független gaussi valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk, melyek egység-szórásnégyzettel és nem zéró középértékkel rendelkeznek.

Általánosított khí-négyzet-eloszlás

Az általánosított khí-négyzet-eloszlást a z′Az kvadratikus képletéből kapjuk, ahol z a zéró középértékű gaussi vektor tetszőleges kovariáns mátrixxal, A pedig egy tetszőleges mátrix.

Gamma-, exponenciális és kapcsolódó eloszlások

A X ~ χ²(k) khí-négyzet-eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete, X ~ Γ(k/2, 1/2), ahol k egy egész. Mivel az exponenciális eloszlás szintén a gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért X ~ χ²(2), és X ~ Exp(1/2) egy exponenciális eloszlás. Az Erlang-eloszlás szintén a gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért ha X ~ χ²(k) páros k-val, akkor X is Erlang-eloszlású k/2 alakparaméterrel és ½ skálaparaméterrel.

Alkalmazások

A khí-négyzet-eloszlásnak számos alkalmazása ismert a statisztikában, például a khí-négyzet-teszt vagy a szórásnégyzetek becslése. Felveti a normáliseloszlás-középérték becslésének a problémáját és a regressziós vonal meredekségének a becslését a T-eloszláson keresztül. A szórásnégyet-analízis problémájában is van szerepe az F-eloszlással kapcsolatban, mely két független khí-négyzet valószínűségi változó arányának az eloszlása, mindegyik osztva a megfelelő szabadságfokkal. A következő táblázat olyan eloszlásokat mutat be, melyek neve ‘khí’-vel kezdődik, valamilyen statisztikához kapcsolódik, a X_i ∼ Normal(μ_i, σ²_i), i = 1, ⋯, k, független valószínűségi változókra alapozva:

Név	Statisztika
Khí-négyzet-eloszlás	$\sum_{i = 1}^{k} {(\frac{X_{i} - μ_{i}}{σ_{i}})}^{2}$
Nem-centrális khí-négyzet-eloszlás	$\sum_{i = 1}^{k} {(\frac{X_{i}}{σ_{i}})}^{2}$
Khí-eloszlás	$\sqrt{\sum_{i = 1}^{k} {(\frac{X_{i} - μ_{i}}{σ_{i}})}^{2}}$
Nem-centrális khí-eloszlás	$\sqrt{\sum_{i = 1}^{k} {(\frac{X_{i}}{σ_{i}})}^{2}}$

Irodalom

Wilson, E.B – Hilferty, M.M: The distribution of chi-squared. Washington: Proceedings of the National Academy of Sciences. 1931. 684–688. o.
Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I. Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902
Jonhson, N.L.; S. Kotz, , N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions (Second Ed., Vol. 1, Chapter 18). (hely nélkül): John Willey and Sons. 1994. ISBN 0-471-58495-9
Maddala, G.S: Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1983.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ Milton Abramowitz; Irene Stegun, (szerk.) (1983) [June 1964]. "[Irene Stegun Chapter 26]". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 940. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - Chi-Squared Distribution
↑ Jonhson, N.L., S. Kotz, , N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions (Second Ed., Vol. 1, Chapter 18). John Willey and Sons (1994). ISBN 0-471-58495-9
↑ Mood, Alexander, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 241-246). McGraw-Hill (1974). ISBN 0-07-042864-6
↑ (2009) „Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model”. Journal of Econometrics, 219–230. o, Kiadó: Elsevier. [2016. március 7-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. június 2.)
↑ Chi-squared distribution, from MathWorld, Hozzáférés ideje: Feb. 11, 2009
↑ M. K. Simon, Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables, New York: Springer, 2002, eq. (2.35), ISBN 978-0-387-34657-1
↑ Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley, 46. o. (2005)
↑ Wilson, E.B.; Hilferty, M.M. (1931) "The distribution of chi-squared". Proceedings of the National Academy of Sciences, Washington, 17, 684–688.

Külső hivatkozások

Matematikai portál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[abramowitz-1] Milton Abramowitz; Irene Stegun, (szerk.) (1983) [June 1964]. "[Irene Stegun Chapter 26]". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 940. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

[2] NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - Chi-Squared Distribution

[3] Jonhson, N.L., S. Kotz, , N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions (Second Ed., Vol. 1, Chapter 18). John Willey and Sons (1994). ISBN 0-471-58495-9

[4] Mood, Alexander, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 241-246). McGraw-Hill (1974). ISBN 0-07-042864-6

[5] (2009) „Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model”. Journal of Econometrics, 219–230. o, Kiadó: Elsevier. [2016. március 7-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. június 2.)

[6] Chi-squared distribution, from MathWorld, Hozzáférés ideje: Feb. 11, 2009

[7] M. K. Simon, Probability Distributions Involving Gaussian Random Variables, New York: Springer, 2002, eq. (2.35), ISBN 978-0-387-34657-1

[8] Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley, 46. o. (2005)

[9] Wilson, E.B.; Hilferty, M.M. (1931) "The distribution of chi-squared". Proceedings of the National Academy of Sciences, Washington, 17, 684–688.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]