Erlang-eloszlás

Az Erlang-eloszlás folytonos valószínűség-eloszlás. Az eloszlást Agner Krarup Erlang (1878–1929) dán matematikus fejlesztette ki, amikor azonos időben keletkező telefonhívásokat vizsgált a koppenhágai telefonközpontban. Ez a munka később kiterjedt a várakozási idők vizsgálatára, és ezzel elindult a sorbanállási elmélet kialakulása. Ezt az eloszlást sztochasztikus folyamatok, és biomatematikai problémák elemzésére is használják.

Áttekintés

Az eloszlás folytonos, értéke pozitív minden nullánál nagyobb valós számra. Két paraméterrel szokták jellemezni: az alakparaméterrel ($k$), mely pozitív egész, és a gyakorisággal ($\lambda$), mely szintén pozitív valós szám. Az eloszlást néha az inverz gyakoriság paraméterrel is jellemzik ($\mu$). Az eloszlás $k$ független exponenciális változó összege $\mu$ középértékkel. Ha az alakparaméter $k$ =1, akkor az eloszlás exponenciális eloszlásra egyszerűsödik. Az Erlang-eloszlás a gamma-eloszlás olyan speciális esete, amelynél a $k$ egész szám. A gamma-eloszlásnál ez a paraméter nem csak egész lehet.

Jellemzők

Sűrűségfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

Sűrűségfüggvény

$f(x;k,\lambda )=\frac{{\lambda }^k{x}^{k-1}{e}^{-\lambda x}}{(k-1)!}\text{ahol }x,\lambda \ge 0$

$k$, az alakparaméter, $\lambda$, a gyakoriság paraméter. Egy alternatív, de ekvivalens parametrizálás (gamma-eloszlás) a $\mu$ skálaparamétert használja, mely a gyakoriság paraméter reciproka ($\mu =1/\lambda$):

$f(x;k,\mu )=\frac{x^{k-1}{e}^{-\frac{x}{\mu }}}{{\mu }^k(k-1)!}\text{ahol}x,\mu \ge 0$

Amikor $\mu$=2, akkor az eloszlás khi-négyzet eloszlássá egyszerűsödik 2k szabadságfokkal. Páros számú szabadságfok esetén ez az általános khi-négyzet eloszlás. A nevező faktoriális függvénye miatt az Erlang-eloszlás csak k, pozitív egész értékeire értelmezhető. A gamma-eloszlás kiterjeszti az Erlang-eloszlást k bármely valós értékére, a gamma-függvényt használva a faktoriális helyett.

Kumulatív eloszlásfüggvény

$F(x;k,\lambda )=1-\frac{\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}$

ahol $\gamma ()$ az alsó inkomplett gamma-függvény. A kumulatív eloszlásfüggvény másik kifejezése:

$F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}{e}^{-\lambda x}(\lambda x{)}^n$

Várakozási idők

Átlagos gyakorisággal, függetlenül bekövetkező események a Poisson-folyamattal modellezhetők. k előfordulási gyakoriságú események közötti várakozási idők Erlang-eloszlásúak (egy adott időben előforduló események számát a Poisson-eloszlás írja le). Az Erlang-eloszlás, mely a bejövő hívások közötti időt méri, felhasználható a bejövő hívások várható időtartamának jellemzésére, így információt kapunk a forgalmi terhelésről erlangban mérve. Ez felhasználható a csomagveszteség és késleltetések valószínűségének meghatározására is (Erlang B-képlet, Erlang C-képlet). Az Erlang B,- és Erlang C-képlet ma is használatos call centerek forgalmi modellezésénél. Az Erlang B-eloszlás felhasználható call centereknél a trönkök számának tervezésekor. Az Erlang C-eloszlás segítségével kiszámolható, hogy a hívásoknak mennyit kell várni a kezelőre.

Irodalom

• Sundarapandian, V: Queueing Theory. Probability, Statistics and Queueing Theory. (hely nélkül): . PHI Learning. 2009. ISBN 8120338448  

Jegyzetek

• Egy PDF-fájl adatokkal

Kapcsolódó szócikkek

• M/D/1-típusú sorbanállás
• Pollaczek–Khinchine-formula
• M/G/1-típusú sorbanállás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika