Másodfokú egyenlet

Innen: Hungaropédia
(Kvadratikus egyenlet szócikkből átirányítva)
Ugrás a navigációhozUgrás a kereséshez
Egy másodfokú függvény grafikonja:
y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2).
Azok a pontok, ahol a grafikon az x-tengelyt metszi, az x = -1 és x = 2, az x2 - x - 2 = 0 másodfokú egyenlet megoldásai.

A matematikában a másodfokú egyenlet egy olyan egyenlet, amely ekvivalens algebrai átalakításokkal olyan egyenlet alakjára hozható, melynek egyik oldalán másodfokú polinom szerepel, tehát az ismeretlen (x) legmagasabb hatványa a négyzet – a másik oldalán nulla (redukált alak). A másodfokú egyenlet általános kanonikus alakja tehát:

ax2+bx+c=0 , ahol a≠0

Az a, b és c betűket együtthatóknak nevezzük: a az x2 együtthatója, b az x együtthatója, és c a konstans együttható.

Megoldása

A valós vagy komplex együtthatójú másodfokú egyenletnek két komplex gyöke van, amelyeket általában x1 és x2 jelöl, noha ezek akár egyezőek is lehetnek. A gyökök kiszámítására a másodfokú egyenlet megoldóképletét használjuk.

x=−b±b2−4ac2a

A másodfokú egyenlet megoldóképletében a gyökjel alatti kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük: D=b2−4ac. Ha valós együtthatós az egyenlet, akkor

  • D > 0 esetén két különböző valós gyöke van,
  • D = 0 esetén két egyenlő (kettős gyöke) van,
  • D < 0 esetén nincs megoldása a valós számok között.

Megoldóképlet levezetése teljes négyzetté alakítással

A másodfokú egyenlet megoldóképletét a teljes négyzetté való kiegészítéssel vezethetjük le.

ax2+bx+c=0

Elosztva a másodfokú egyenletet a-val (ami megengedett, mivel a≠0).

x2+bax+ca=0

ami átrendezve

x2+bax=−ca

Az egyenletnek ebben a formájában a bal oldalt teljes négyzetté alakítjuk. Egy konstanst adunk az egyenlőség bal oldalához, amely x2+2xy+y2 alakú teljes négyzetté egészíti ki. Mivel 2xy ebben az esetben bax, ezért y=b2a, így b2a négyzetét adva mindkét oldalhoz azt kapjuk, hogy

x2+bax+b24a2=−ca+b24a2

A bal oldal most (x+b2a) teljes négyzete. A jobb oldalt egyszerű törtként írhatjuk fel, a közös nevező 4a2.

(x+b2a)2=b2−4ac4a2

Négyzetgyököt vonva mindkét oldalból

|x+b2a|=b2−4ac|2a|⇔x+b2a=±b2−4ac2a

Kivonva b2a-t mindkét oldalból megkapjuk a megoldóképletet:

x=−b2a±b2−4ac2a=−b±b2−4ac2a

Szélsőérték helye: −b2a Ha a diszkrimináns értéke negatív, a következőképpen kell számolni:

x=−b2a±(−1)(4ac−b2)2a=−b2a±i4ac−b22a

A megoldás ilyenkor egy komplex konjugált gyökpár lesz.

Alternatív módja a megoldóképlet levezetésének

Az előző levezetéssel szemben szinte törtmentesen is teljes négyzetté alakíthatunk, ha első lépésben beszorzunk 4a-val. Ekkor a következőképpen járhatunk el:

ax2+bx+c=04a2x2+4axb+4ac=04a2x2+4axb+b2+4ac=b2(2ax)2+2(2ax)(b)+b2+4ac=b2(2ax+b)2+4ac=b2(2ax+b)2=b2−4ac|2ax+b|=b2−4ac2ax+b=±b2−4ac2ax=−b±b2−4ac

Végeredményül pedig ugyanúgy eljutunk a közismert képlethez:

x=−b±b2−4ac2a

Viète-formulák

A Viète-formulák egyszerű összefüggések a polinomok gyökei és együtthatói között. A másodfokú egyenlet esetében a következő formájúak:

x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−2b+b2−4ac−b2−4ac2a=−2b2a=−ba
x1⋅x2=−b+b2−4ac2a⋅−b−b2−4ac2a=(−b+b2−4ac)(−b−b2−4ac)4a2=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=ca

Kódok

HTML(JavaScript)

<!-- Ez meg tudja oldani a komplex gyököket is. -->
<html>
    <head>
        <title>Másodfokú egyenlet megoldó</title>
    </head>
    <body>
        <form id='page' name='page'>
            <div style="margin: 20px;">
                <h1>Másodfokú egyenlet megoldó</h1>
                <p><input name='a' size=4> * x<sup>2</sup> + <input name='b' size=4> * x + <input name='c' size=4> = 0
                <p><input type='button' value='Megold' onclick='root();'></p>
                <hr>
                <p>x<sub>1</sub> = <input name='x1' size=16 readonly> + <input name='x1i' size=16 readonly> i</p>
                <p>x<sub>2</sub> = <input name='x2' size=16 readonly> + <input name='x2i' size=16 readonly> i</p>
            </div>
        </form>
        <script>
         function root()
         {
            a = parseFloat(document.page.a.value);
            b = parseFloat(document.page.b.value);
            c = parseFloat(document.page.c.value);
            if (a == 0)
            {
                alert("Az x^2 együtthatója nem lehet 0.");
            }
            else
            {
                d = b * b - 4 * a * c;
                if (d >= 0)
                {
                    x1 = ((-b+Math.sqrt(d))/2/a);
                    x2 = ((-b-Math.sqrt(d))/2/a);
                    x1i = x2i = 0;
                }
                else
                {
                    x1 = x2 = (-b/2/a);
                    x1i = (Math.sqrt(-d)/2/a);
                    x2i = (-Math.sqrt(-d)/2/a);
                }
                document.page.x1.value = x1;
                document.page.x2.value = x2;
                document.page.x1i.value = x1i;
                document.page.x2i.value = x2i;
            }
         }
        </script>
    </body>
</html>

C++

// Ez meg tudja oldani a komplex gyököket is
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
  float a, b, c, x1, x2, d, realPart, imaginaryPart;
  cout << "Enter coefficients a, b and c: " << endl;
  cout << "a=";
  cin >> a;
  cout << "b=";
  cin >> b;
  cout << "c=";
  cin >> c;
  d = b * b - 4 * a * c;
  if (d > 0) {
    x1 = (-b + sqrt(d)) / (2 * a);
    x2 = (-b - sqrt(d)) / (2 * a);
    cout << "Roots are real and different." << endl;
    cout << "x1 = " << x1 << endl;
    cout << "x2 = " << x2 << endl;
  } else if (d == 0) {
    cout << "Roots are real and same." << endl;
    x1 = (-b + sqrt(d)) / (2 * a);
    cout << "x1 = x2 =" << x1 << endl;
  } else {
    realPart = -b / (2 * a);
    imaginaryPart = sqrt(-d) / (2 * a);
    cout << "Roots are complex and different." << endl;
    cout << "x1 = " << realPart << "+" << imaginaryPart << "i" << endl;
    cout << "x2 = " << realPart << "-" << imaginaryPart << "i" << endl;
  }
  return 0;
}

Források

További információk

A lap eredeti címe: „https://hungaropedia.org/index.php?title=Másodfokú_egyenlet&oldid=132801”