Topológiák összehasonlítása

A matematika topológia nevű ágában topológiák összehasonlításán azt értjük, hogy egy adott alaphalmazon értelmezett két topológia közül az egyiket a másiknál finomabbnak (vagy ekvivalens értelemben a másodikat az elsőnél durvábbnak) mondjuk.

Definíció

Legyen ${\tau }_1$ és ${\tau }_2$ topológia egyazon $X$ alaphalmazon. Ha ${\tau }_1\subset {\tau }_2$, akkor azt mondjuk, hogy ${\tau }_2$ finomabb mint ${\tau }_1$, illetve ekvivalens megfogalmazásban ${\tau }_1$ durvább mint ${\tau }_2$.

Példák

• Tetszőleges alaphalmazon a diszkrét topológia minden más topológiánál finomabb, az indiszkrét topológia minden más topológiánál durvább.
• Az {1,2,3} alaphalmazon jelölje ${\tau }_1$ azt a topológiát, amely az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból áll. Jelölje továbbá ${\tau }_2$ azt a topológiát, amely az { }, {1}, {2}, {1,2} és {1,2,3} halmazokból áll. Akkor ${\tau }_1$ durvább ${\tau }_2$-nél, és ${\tau }_2$ finomabb ${\tau }_1$-nél.
• Ugyanezen az alaphalmazon az { }, {1} és {1,2,3} halmazokból álló illetve az {}, {2} és {1,2,3} halmazokból álló topológiák közül egyik sem finomabb vagy durvább a másiknál.

Tulajdonságok

Legyen ${\tau }_1$ és ${\tau }_2$ topológia egyazon $X$ alaphalmazon úgy, hogy ${\tau }_1$ finomabb, mint ${\tau }_2$. Akkor az $(X,{\tau }_1)$ topologikus térből az $(X,{\tau }_2)$ topologikus térbe vezető identikus leképezés folytonos, hiszen ilyenkor tetszőleges ${\tau }_2$-beli nyílt halmaz ősképe ${\tau }_1$-beli nyílt halmaz.

Források

• Schubert, Horst. Topológia, fordította Fridli Sándor, Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1986). ISBN 963-10-6424-7