Bázis (lineáris algebra)

Ugyanaz a vektor, több bázisban reprezentálva, lila és piros nyilakkal

A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben. A bázis elemei a bázisvektorok. Ha egy vektort egy bázis vektorainak lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor az együtthatók rendre a vektor koordinátái az adott bázisban. Függvényterekben a bázis elemeit bázisfüggvényeknek nevezzük. Egy vektortérben általában több bázis is van; a bázisváltást koordinátatranszformációnak is nevezzük. Ha más bázisokról is szó van, akkor ezt a bázist Hamel-bázisként említik. Nem tévesztendő össze egy koordináta-rendszer bázisával, ami egy másik fogalom.

Definíció

Vektorok egy B ⊆ V halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól. Adva legyen a $V$ vektortér, és legyen $B$ egy részhalmaz $V$-ben! A következő definíciók egyenértékűek:

• $V$ minden eleme előáll $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, és ez az előállítás egyértelmű
• $B$ minimális generátorrendszere $V$-nek; azaz $V$ minden eleme előáll $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, de ez $B$ egy részhalmazára sem teljesül
• $B$ maximális lineárisan független halmaz $V$-ben, azaz nincs $V$-ben olyan vektor, melyet hozzávéve $B$ független maradna.
• $B$ lineárisan független generátorrendszer $V$-ben.

Alkalmas $I$ indexhalmaz segítségével egy bázis írható úgy, mint $B=\{b_i:i\in I\}$; egy véges bázis úgy, mint $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$. Egy $I$ indexhalmaz bevezetésekor gyakran a család írásmódot használják; például ahelyett, hogy $B=\{b_i:i\in I\}$, azt írják, hogy $b=(b_i{)}_{i\in I}$. Ha az $I$ indexhalmaz rendezett, akkor az a bázist is sorba rendezi. Ekkor $b$ rendezett bázis. Például $b=(b_1,\dots ,b_n)=(b_i{)}_{i\in \{1,\dots ,n\}}$ véges bázis, $b=(b_i{)}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ megszámlálhatóan végtelen bázis. Ez lehetővé teszi az irányok definiálását vektorterekben. Habár a bázisokat többnyire halmazként írjuk fel, praktikusabb indexelést használni. Ekkor a koordinátavektorok alakja $x=(x_i{)}_{i\in I}$; a koordinátatér $K^I$. Rendezett $I$ indexhalmaz esetén a bázis is rendezett. Például ha $I=\{1,\dots ,n\}$, akkor $x=(x_1,\dots ,x_n)$ (a koordináták számozása). A koordinátatér $K^n$; valós, illetve komplex esetben ${\mathbb{ℝ}}^n$, illetve ${\mathbb{ℂ}}^n$.

A definíció kibontása véges dimenzióban

Legyen $V$ egy $K$ feletti vektortér (jelben: $K_{}V$), $B=(v_1,v_2,...,v_n)$ a vektortér bázisa, ha 1.)   a $B$ generátorrendszere $V$- nek:

Bármely $K_{}V$ $v$ vektora esetén egyértelműen léteznek $k_1,k_2,...,k_{n}K$- beli skalárok úgy, hogy $\sum _{i=1}^n{k}_i{v}_i=v$

Ebben az esetben a $k_1,k_2,...,k_n$ skalárokat a vektor $B$ bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

2.) $v_1,v_2,...,v_n$ egymástól lineárisan független vektorok:

Ha $\sum _{i=1}^n{k}_i{v}_i=0$, akkor $k_1=k_2=...=k_n=0$.

A $K_{}V$ vektortér dimenzióját a $B$ bázis számossága adja meg:

${\dim }_{K}V=|B|$

Ennek következménye, hogy ha $K_{}Vn$ dimenziós vektortérnek $B$ és $B^{\prime }$ vektorlisták egyaránt bázisai, akkor $|B|=|B^{\prime }|=n$.

Az ekvivalens definíciók egyenértékűségének bizonyítása

• Ha minden vektor egyértelműen kifejezhető $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor $B$ generátorrendszer. Ha $B$ nem minimális generátorrendszer, akkor van egy $B^{\prime }$ valódi részhalmaza, ami szintén generátorrendszer. Legyen most $b^{*}\in B\setminus B^{\prime }$; ekkor $b^{*}$ kifejezhető $B^{\prime }$ elemeinek lineáris kombinációjaként, tehát kétféleképpen is felírható $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond az egyértelműségnek. Ennélfogva $B$ minimális.
• A minimális generátorrendszerek lineárisan függetlenek. Ha $B$ nem lineárisan független, akkor van egy $b^{*}\in B$, ami kifejezhető $B\setminus \{b^{*}\}$ lineáris kombinációjaként. Ekkor $B$ vektorainak minden lineáris kombinációja behelyettesítéssel átírható $B\setminus \{b^{*}\}$ lineáris kombinációjára, így $B$ nem minimális.
• Egy lineárisan független generátorrendszernek maximális független halmaznak kell lennie. Ha nem maximális, akkor van egy $b^{*}$ vektor, ami lineárisan független $B$-től. De $b^{*}$ kifejezhető $B$ elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond a lineáris függetlenségnek.
• Minden maximálisan független rendszer generátorrendszer is: Legyen $b^{*}$ tetszőleges vektor! Ha $b^{*}$ eleme $B$-nek, akkor kifejezhető $B$ lineáris kombinációjaként. Ha $b^{*}$ nincs benne $B$-ben, akkor $$\begin{gathered} B \\ \cup \{b^{*}\} \end{gathered}$$ valódi tartalmazó halmaza $B$-nek, így lineárisan összefüggő. Ekkor vannak olyan együtthatók, hogy $a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n=0$. Itt nem lehet az összes $b_i\in B$, mivel $B$ lineárisan független; így az egyik megegyezik $b^{*}$-gal. Feltehetjük, hogy ez $b_1$, és együtthatója a nullától különböző $a_1$. Ekkor $b^{*}=-\frac{1}{a_1}(a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n)$. Az ábrázolás egyértelműsége $B$ lineáris függetlenségéből következik.

A létezés bizonyítása

A Zorn-lemmával igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa. Legyen $V$b vektortér! Bázis, azaz maximálisan lineárisan független részhalmazt keresünk benne. Vesszük az

$P:=\{X\subseteq V:X\text{ lineárisan független}\}$

halmazrendszert, ami részben rendezett a $\subseteq$ relációra. megmutatható, hogy:

• $P$ nem üres, hiszen benne van az üres halmaz. Ha $V$ nem üres, akkor az összes nullvektortól különböző vektora szerepel benne egyelemű halmazként.
• minden $C\subseteq P$ lánc $\bigcup C=\bigcup _{X\in C}X=\{v:\mathrm{\exists }X\in C:v\in X\}$ is $P$-ben.

A Zorn-lemmából következik, hogy $P$-nek van maximális eleme. A maximális elemek azonban maximális lineárisan független részhalmazok $V$-ben, vagyis $V$ bázisai. Tehát $V$-nek van bázisa, és minden lineárisan független vektorból álló halmaz egy bázis része. Egy $q$ elemű véges test fölötti $d$ dimenziós vektortérben

$\frac{1}{d!}\prod _{k=0}^{d-1}(q^d-q^k)$

különböző bázis van.

Kiegészítési tétel

Adva legyen vektorok lineárisan független $T\subset V$ részhalmaza, és a létezés bizonyítása szakasz jelölésével legyen

$P:=\{X\subseteq V:T\subset X,X\text{ lineárisan független}\}$

és felhasználjuk azt az eredményt, hogy $T$-t tartalmazza $P$ egy maximális eleme, ami bázis $V$-ben. Így minden lineárisan független vektorhalmaz kiegészíthető bázissá.

Kicserélési tétel (Steinitz-tétel)

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_n generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely f_i-hez található olyan g_j, hogy

${\mathbf{f}}_1,\dots ,{\mathbf{f}}_{i-1},{\mathbf{g}}_j,{\mathbf{f}}_{i+1},\dots ,{\mathbf{f}}_n$

is lineárisan független rendszer.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f₁-re ez nem igaz, vagyis az f₂,…,f_n vektorokhoz akármelyik g_j-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f₂,…,f_n független rendszerből előállítható g₁,..., g_n generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f₂,…,f_n bázis. Így V minden eleme, speciálisan f₁ is előáll f₂,…,f_n lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f₁,…,f_n lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_k generátorrendszer egy V vektortérben.

Ekkor n ≤ k.

Bizonyítás

Első lépésben f₁-et cseréljük ki valamelyik g_j-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f₂-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az f_i-k el nem fogynak.

Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.

Következmény

Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Tulajdonságok

• Minden vektortérnek van bázisa.
• Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
• Egy vektortér minden bázisa ugyanannyi elemből áll. Ez a szám, ami lehet végtelen kardinális szám is, a vektortér dimenziója.
  • Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
  • Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.
• Legyen $K_{}V$ , $K_{}S$ résztere $K_{}V$-nek. Legyen $B^{\prime }$ a $K_{}S$ nek bázisa, ekkor a $B^{\prime }$ bázist ki lehet egészíteni úgy $V$- beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen $V$-nek.
• Minden vektortér szabad objektum bázisa fölött. Ez a vektorterek univerzális tulajdonsága a kategóriaelmélet értelmében. Ez azt jelenti, hogy:

• Egy lineáris leképezést egyértelműen meghatározza egy bázis elemeinek képei. Legyen $V$ vektortér a $K$ test fölött! Ekkor a $\{b_1,\dots ,b_k\}$ részhalmaz egyértelműen definiál egy $K^k\to V,e_i\mapsto b_i$ lineáris leképezést, ahol $e_i$ az $i$-edik standard bázisvektor. Ez a leképezés:
• pontosan akkor injektív, ha a $b_i$ vektorok lineárisan függetlenek
• szürjektív, ha $b_i$-k generátorrendszert alkotnak
• bijektív, ha a $b_i$ vektorok bázist alkotnak

Egy bázis tetszőleges leképezése a képtérben lineáris leképezést definiál.

Mindez a jellemzés átvihető modulusokra is.

Koordináták

Egy V vektortérben, egy rögzített b₁,…,b_n bázis mellett tetszőleges v ∈ V vektor egyértelműen írható fel

$\mathbf{v}={\alpha }_1{\mathbf{b}}_1+\dots +{\alpha }_n{\mathbf{b}}_n$

alakban.
Ekkor az ${\alpha }_i$ skalárok a v vektor koordinátái, a b₁,…,b_n bázisra vonatkozólag. Egy vektortérben a vektorok koordinátái a vektortér alaptestének elemei. Ezek együtt alkotják a $x=(x_i{)}_{i\in B}$ koordinátavektort, ami egy másik vektortér, a $K^B$ koordinátatér eleme. Lényeges, hogy melyik koordináta melyik vektorhoz tartozik. Ha a bázis nincs indexelve, akkor az egyes vektorokat indexben jelölni kell.

Báziscsere

Legyen $K_{}V$ vektortérben $B=(v_1,v_2,...,v_n)$ és $B^{\prime }=(v{\text{'}}_1,v{\text{'}}_2,...,v{\text{'}}_n)$ bázis.

a.) Ha $v$ a $V$ egyik vektora, úgy, hogy $v=\sum _{i=1}^n{k}_i{v}_i$, akkor a $[v{]}_B=(k_1,k_2,...,k_n)$ a $v$ vektor felírása a $B$ bázisban

b.) Legyen $t_{i}jK$-beli elem minden $i$-re és $j$-re. Felírható a következő egyenletrendszer:

$v{\text{'}}_1=t_{11}{v}_1+t_{21}{v}_2+...+t_{n1}{v}_n$

$v{\text{'}}_2=t_{12}{v}_1+t_{22}{v}_2+...+t_{n2}{v}_n$

$...$

$v{\text{'}}_n=t_{1n}{v}_1+t_{2n}{v}_2+...+t_{nn}{v}_n$

Ekkor a $v_1,v_2,...,v_n$ vektorokhoz tartozó együtthatókat rendre beírjuk egy mátrix oszlopaiba, a keletkezett mátrix a $B^{\prime }$ bázisból $B$ bázisba való áttérési mátrix lesz.

$\mathbf{T}=\left(\begin{array}{cccc}{t}_{11}& t_{12}& \cdots & t_{1n}\\ t_{21}& t_{22}& \cdots & t_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ t_{n1}& t_{n2}& \cdots & t_{nn}\end{array}\right)$

Példák

e₁ és e₂ a sík egy bázisa

• a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
• a standard bázis az ${\mathbb{ℝ}}^2$ euklidészi síkban, vagyis az $\{(1,0),(0,1)\}$ vektorpár
• két, nem egyazon, vagy ellentétes irányba mutató vektor az euklidészi síkban
• hasonlóan ${\mathbb{𝔼}}^3$ -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas

$\mathbf{i}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathbf{j}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\mathbf{k}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

• ${\mathbb{ℝ}}^n$-ben ortonormált bázist alkot az

${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots ,{\mathbf{e}}_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$

vektorhalmaz, mely ${\mathbb{ℝ}}^n$ standard bázisa.

• ${\mathrm{F}}^{n\times k}$ -ban bázis

${\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right)}_{n\times k},{\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)}_{n\times k},\dots ,{\left(\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right)}_{n\times k}$

ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.

• az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az

$\{1,x,x^2,\dots ,x^n,\dots \}$

vektorok.

• a polinomok vektorterében vannak más bázisok, amelyek konkrét alkalmazásokban hasznosabbak, mint a monomok, például a Legendre-polinomok
• a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa: $\{1,x,x^2,\dots ,x^k\}$
• a $\{0\}$ nullvektortérben az üres halmaz
• a $\mathbb{ℂ}$, mint $\mathbb{ℝ}$ fölötti vektortérben az $\{1,i\}$ halmaz
• a $\mathbb{ℂ}$, mint $\mathbb{ℝ}$ fölötti vektortérben egy olyan számpár, melyek hányadosa nem valós
• a valós számsorozatok körében az $\{(1,0,0,0,\dots ),(0,1,0,0,\dots ),(0,0,1,0,\dots ),\dots \}$ vektorok lineárisan függetlenek, de nem alkotnak bázist, mivel például $(1,1,1,1,\dots )$ nem fejezhető ki véges sok elem lineáris kombinációjaként
• $\mathbb{ℝ}$, mint $\mathbb{\mathbb{Q}}$ fölötti vektortér esetén van bázis, amit nem lehet explicit megadn

Speciális vektorterekben

Valós és komplex vektorterek további topológiai struktúrával bírnak. A fent bevezetett bázisfogalomtól eltérő bázisok is definiálhatók bennük.

Bázis és duális bázis a háromdimenziós valós vektortérben

A klasszikus mechanikában a megfigyelési teret skalárszorzatos háromdimenziós valós vektortérrel, azaz a (V³, ·) vektortérrel modellezik. A skalárszorzat megléte a vektorteret további tulajdonságokkal ruházza fel. Háromdimenziós valós vektortérben minde ${\overrightarrow{b}}_{1,2,3}$ bázishoz tartozik pontosan egy ${\overrightarrow{b}}^{1,2,3}$ duális bázis úgy, hogy ${\overrightarrow{b}}_i\cdot {\overrightarrow{b}}^j={\delta }_i^j,$ ahol δ a Kronecker-delta. A skalárszorzattal definiálható a vektorok normája és szöge, így előállíthatók ortonormált bázisok, melyek elemei páronként ortogonálisak, és normájuk egységnyi. Ortonormált bázisok esetén a duális bázis megegyezik a bázissal. Minden $\overrightarrow{v}$ vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

$\overrightarrow{v}=\sum _{i=1}^3(\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{b}}^i){\overrightarrow{b}}_i=\sum _{i=1}^3(\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{b}}_i){\overrightarrow{b}}^i$

A skalárszorzattal ellátott háromdimenziós valós vektortér teljes is, azaz Hilbert-tér.

Hamel- és Schauder-bázisok skalárszorzatos terekben

Valós és komplex skalárszorzatos vektorterekben, különösen a Hilbert-terekben az elemek előállíthatók más, bizonyos céloknak megfelelőbb módon. Ebben az előállításban ortonormált bázist használunk, de megengedünk végtelen összegeket is. A végtelen összeg megengedése miatt ez nem bázis a fenti értelemben, így egy másik nevet kap: ez a Schauder-bázis. A fent leírt bázist ekkor Hamel-bázisnak hívják.

Auerbach-bázis

Egy Auerbach-bázis egy normált vektortér sűrű alterének Hamel-bázisa; úgyhogy minden bázisvektor távolsága a többi vektor által generált altértől megegyezik a bázisvektor normájával.

A különböző bázisfogalmak elhatárolása

• A Hamel- és a Schauder-bázis is lineárisan független vektorokból áll.
• Egy Hamel-bázis, röviden bázis vektorok véges lineáris kombinációjával fejezi ki a tér vektorait.
• Véges dimenziós valós, illetve komplex skalárszorzatos vektorterekben egy ortonormált bázis egyszerre Hamel- és Schauder-bázis.
• Végtelen dimenziós, teljes valós vagy komplex skalárszorzatos vektortérben, speciálisan végtelen dimenziós Hilbert-térben a Hamel- és a Schauder-bázisok sosem esnek egybe. Végtelen dimenziós esetben egy Hamel-bázis nem mindig ortonormálható.
• Végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert-tér Hamel-bázisa nem megszámlálható; ezzel szemben egy Schauder-bázis megszámlálható. Nem létezik ${\mathrm{\aleph }}_0$ Hamel-dimenziós Hilbert-tér.
• Hilbert-terekben bázison többnyire Schauder-bázist értenek; skalárszorzat nélküli vektorterekben mindig Hamel-bázist.

Általánosítás

A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.

Források

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschaft, Mannheim u. a. 1990, ISBN 978-3-411-14101-2.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Basis (Vektorraum) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.