Hiperbolikus függvények

A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei

A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények. A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ugyanúgy számolható belőlük a hiperbolikus szekáns és a hiperbolikus koszekáns, mint trigonometrikus megfelelőikből a szekáns és a koszekáns. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények. Ezt az adott függvény neve elé tett area szó jelzi. Mindezek a függvények egyes szerzőknél latin nevükkel szerepelnek, mint sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangens hyperbolicus, cotangens hyperbolicus, secans hyperbolicus, cosecans hyperbolicus; illetve az area függvények: area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus, area cotangens hyperbolicus, area secans hyperbolicus, area cosecans hyperbolicus. Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, az az $x^2+y^2=1$ egységkört, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le, mely az $x^2-y^2=1$ egységhiperbolához tartozik. A kapcsolat a komplex számsíkon még nyilvánvalóbb, mivel $(iy{)}^2=-y^2$. Így például $\cos (ix)=\mathrm{ch}x$. A komplex hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinusz az egész komplex számsíkon folytonosan definiált, sőt holomorf függvények. A többi hiperbolikus függvénynek pólusai vannak a képzetes tengelyen. A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

Definíciók

Az origóból kiinduló sugár az $x^2-y^2=1$ hiperbolát az $(\mathrm{ch}A,\mathrm{sh}A)$ pontban metszi, ahol $A$ a sugár, az $x$-tengelyre vett tükörképe és a hiperbola által közrezárt terület

Az egységhiperbola egyenlete $x^2-y^2=1$, így a két alapvető hiperbolikus függvény, a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus szinusz:

$x=\mathrm{ch}(t),y=\mathrm{sh}(t)$

Hasonló kapcsolatban állnak, mint a trigonometrikus függvények az egységkörrel:

$x=\cos (t),y=\sin (t):x^2+y^2=1$

Itt $\mathrm{sh}(A)$ az egyenes és a hiperbola metszéspontjának $y$ koordinátája, és $\mathrm{ch}(A)$ az egyenes és a hiperbola metszéspontjának $x$ koordinátája. A $\mathrm{th}(A)$ értéke az $y$ koordináta az $x=1$ helyen, azaz az egyenes meredeksége. Ha a területet integrálással számítjuk ki, akkor az exponenciális ábrázoláshoz jutunk, ami használható ekvivalens definícióként:

$\mathrm{sh}(z):=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$

$\mathrm{ch}(z):=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$

Ez alapján a hatványsorok:

$\begin{array}{rl}\mathrm{sh}(z)& =z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \mathrm{ch}(z)& =1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n}}{(2n)!},\end{array}$

Itt $n!$ az $n$ szám faktoriálisa, vagyis az első $n$ pozitív egész szám szorzata. Szemben a $\cos$ és a $\sin$ hatványsorával, itt nincsenek negatív együtthatók.

Tulajdonságok

sh és ch

• Minden valós számra $\mathrm{sh}x$ és $\mathrm{ch}x$ valós.
• A valós $\mathrm{sh}x$ függvény értékkészlete az összes valós szám; a valós $\mathrm{ch}x$ értékkészletébe az egynél nem kisebb valós számok tartoznak.
• A valós $\mathrm{sh}x$ függvény szigorúan monoton nő, és a nulla helyen inflexiós pontja van, ahol nullhelye is van.
• A valós $\mathrm{ch}x$ szigorúan monoton csökken az $(-\mathrm{\infty },0]$ intervallumon, és szigorúan monoton nő az $[0,\mathrm{\infty })$ intervallumon. Globális minimumát az $x=0$ helyen éri el.
• A valós $\mathrm{sh}x$ függvény aszimptotikus függvényei $a_1(x)=\frac{1}{2}{e}^x,x\to \mathrm{\infty }$ és $a_2(x)=-\frac{1}{2}{e}^{-x},x\to -\mathrm{\infty }$. A valós $\mathrm{ch}x$ függvény aszimptotikus függvényei $a_1(x)=\frac{1}{2}{e}^x,x\to \mathrm{\infty }$ és $a_2(x)=\frac{1}{2}{e}^{-x},x\to -\mathrm{\infty }$.
• Mivel $\mathrm{sh},\mathrm{ch}:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$, azért a komplex hiperbolikus függvénytulajdonságok a valós függvényekre is teljesülnek:

• Az $\mathrm{sh}x$ függvény páratlan, az $\mathrm{ch}x$ függvény páros.
• A függvények periodikusak, periódusuk $2\pi i$. Ez a valós függvényeken nem látszik, mivel a periódus tisztán képzetes; tehát a valós függvények nem periodikusak.
• A következő szakaszok további összefüggéseket mutatnak be.

th és cth

• Minden valós számra $\mathrm{th}x$ és minden nullától különböző valós számra $\mathrm{cth}x$ valós. A $\mathrm{cth}x$ függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
• A valós $\mathrm{th}x$ értékkészlete $-1<f\left(x\right)<1$, a valós $\mathrm{cth}x$ függvényé $\{-\mathrm{\infty }<f\left(x\right)<-1\}\cup \{1<f\left(x\right)<+\mathrm{\infty }\}$.
• A valós $\mathrm{th}x$ függvénynek az $x=0$ helyen nullhelye van, ami inflexiós pont is.
• A valós $\mathrm{th}x$ függvény szigorúan monoton nő; $\mathrm{cth}x$ szigorúan monoton csökken, ha $x<0$, és szigorúan monoton csökken, ha $x>0$
• Nem periodikus, páratlan függvények.
• A valós $\mathrm{th}x$ aszimptotikus függvényei $x\to +\mathrm{\infty }:f\left(x\right)\to +1$ és $x\to -\mathrm{\infty }:f\left(x\right)\to -1$. A valós $\mathrm{cth}x$ függvény aszimptotikus függvényei $x\to +\mathrm{\infty }:f\left(x\right)\to +1$ és $x\to -\mathrm{\infty }:f\left(x\right)\to -1$

sech és csch

• Minden valós számra $\mathrm{sech}x$ és minden nullától különböző valós számra $\mathrm{csch}x$ valós. A $\mathrm{csch}x$ függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
• A valós $\mathrm{sech}x$ függvény értékkészlete $0<f(x)\le 1$; a valós $\mathrm{csch}x$ függvényé $-\mathrm{\infty }<f(x)<+\mathrm{\infty };f(x)\ne 0$.
• A valós $\mathrm{sech}x$ függvény szigorúan monoton nő, ha $x<0$, és szigorúan monoton csökken, ha $x>0$. A valós $\mathrm{csch}x$ függvény szigorúan monoton csökken, ha $x<0$, és szigorúan monoton csökken, ha $x>0$.
• Nem periodikusak. $\mathrm{sech}x$ páros, $\mathrm{csch}x$ páratlan.
• Mindkét függvénynek aszimptotája $f(x)\to 0$, ha $x\to \pm \mathrm{\infty }$.
• A valós $\mathrm{sech}x$ függvény maximumát az $x=0$ pontban éri el. a valós $\mathrm{csch}x$ függvénynek nincsenek szélsőértékei.
• A valós $\mathrm{sech}x$ függvény inflexiós pontja az $x=\pm \ln (1+\sqrt{2})$ helyen vannak. A valós $\mathrm{csch}x$ függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.

Algebrai összefüggések

sh, ch és th

csch, sch és cth

A hiperbolikus függvények:

• Hiperbolikus szinusz:

$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-i\sin ix$

• Hiperbolikus koszinusz:

$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cos ix$

• Hiperbolikus tangens:

$\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}=-i\mathrm{tg}ix$

• Hiperbolikus kotangens:

$\mathrm{cth}x=\frac{\mathrm{ch}x}{\mathrm{sh}x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=1+\frac{2}{{\mathrm{e}}^{2x}-1}=i\mathrm{ctg}ix$

• Hiperbolikus szekáns:

$\mathrm{sch}x=\frac{1}{\mathrm{ch}x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\sec ix$

• Hiperbolikus koszekáns:

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\mathrm{sh}x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=i\csc ix$

ahol $i$ az imaginárius egység. A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$

$\mathrm{ch}x+\mathrm{sh}x=e^x$ (Euler-azonosság)

$\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x=e^{-x}$

$\mathrm{ch}(\mathrm{arsh}(x))=\sqrt{x^2+1}$

$\mathrm{sh}(\mathrm{arch}(x))=\sqrt{x^2-1}$ (hiperbolikus egyenlet, a gemotriai definícióból közvetlenül adódik)

Szimmetria összefüggések

$\mathrm{sh}(-x)=-\mathrm{sh}x$

$\mathrm{ch}(-x)=\mathrm{ch}x$

Innen:

$\mathrm{th}(-x)=-\mathrm{th}(x)$

$\mathrm{cth}(-x)=\mathrm{cth}(x)$

$\mathrm{sch}(-x)=\mathrm{sch}x$

$\mathrm{csch}(-x)=-\mathrm{csch}x$

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

$\mathrm{sh}(z)=\mathrm{sh}(z+2\pi i)\text{ és }\mathrm{ch}(z)=\mathrm{ch}(z+2\pi i)$,

így a többi hiperbolikus függvény is periodikus $2\pi i$ szerint.

Addíciós tételek

• $\mathrm{sh}(z_1\pm z_2)=\mathrm{sh}(z_1)\cdot \mathrm{ch}(z_2)\pm \mathrm{sh}(z_2)\cdot \mathrm{ch}(z_1)$
• $\mathrm{ch}(z_1\pm z_2)=\mathrm{ch}(z_1)\cdot \mathrm{ch}(z_2)\pm \mathrm{sh}(z_1)\cdot \mathrm{sh}(z_2)$
• $\mathrm{th}(z_1\pm z_2)=\frac{\mathrm{th}(z_1)\pm \mathrm{th}(z_2)}{1\pm \mathrm{th}(z_1)\mathrm{th}(z_2)}$
• $\mathrm{th}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{th}\alpha +\mathrm{th}\beta }{1+\mathrm{th}\alpha \mathrm{th}\beta }$
• $\mathrm{cth}(\alpha +\beta )=\frac{1+\mathrm{cth}\alpha \mathrm{cth}\beta }{\mathrm{cth}\alpha +\mathrm{cth}\beta }$

Speciálisan, ha $y:=x$:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\mathrm{sh}2x& =2\cdot \mathrm{sh}x\mathrm{ch}x \\ \\ \mathrm{ch}2x& ={\mathrm{ch}}^{2}x+{\mathrm{sh}}^{2}x=2\cdot {\mathrm{ch}}^{2}x-1=2\cdot {\mathrm{sh}}^{2}x+1\end{array} \end{gathered}$$

illetve, ha $y:=2x$:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\mathrm{sh}3x& =4\cdot {\mathrm{sh}}^{3}x+3\mathrm{sh}x \\ \\ \mathrm{ch}3x& =4\cdot {\mathrm{ch}}^{3}x-3\mathrm{ch}x\end{array} \end{gathered}$$

Összegzés:

$\begin{array}{rl}\mathrm{sh}x\pm \mathrm{sh}y& =2\mathrm{sh}\frac{x\pm y}{2}\mathrm{ch}\frac{x\mp y}{2}\\ \mathrm{ch}x+\mathrm{ch}y& =2\mathrm{ch}\frac{x+y}{2}\mathrm{ch}\frac{x-y}{2}\\ \mathrm{ch}x-\mathrm{ch}y& =2\mathrm{sh}\frac{x+y}{2}\mathrm{sh}\frac{x-y}{2}\end{array}$

Hatványok

$\begin{array}{r}{\mathrm{sh}}^{2}x=\frac{1}{2}(\mathrm{ch}(2x)-1)\\ {\mathrm{ch}}^{2}x=\frac{1}{2}(\mathrm{ch}(2x)+1)\end{array}$

További összefüggések

${\mathrm{ch}}^2(z)-{\mathrm{sh}}^2(z)=1$

$$\begin{gathered} \mathrm{ch}z+\mathrm{sh}z \\ =e^z \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ch}z-\mathrm{sh}z \\ =e^{-z} \end{gathered}$$

$\mathrm{sh}(\ln \phi )=\frac{1}{2}$, ahol $\phi$ az aranymetszés.

A hiperbolikus kotangensnek két fixpontja van, azaz két hely, ami megegyezik az ott felvett értékkel:

$\mathrm{cth}u=u$, ahol $u_{\pm }=\pm 1,19967864\dots$ ((A085984 sorozat az OEIS-ben))

Komplex argumentumok

Ha $x,y\in \mathbb{ℝ}$ valós és képzetes rész, akkor teljesül, hogy:

$\begin{array}{rl}\mathrm{sh}(x+iy)& =\cos y\mathrm{sh}x+i\sin y\mathrm{ch}x\\ \mathrm{ch}(x+iy)& =\cos y\mathrm{ch}x+i\sin y\mathrm{sh}x\\ \sin (x+iy)& =\sin x\mathrm{ch}y+i\cos x\mathrm{sh}y\\ \cos (x+iy)& =\cos x\mathrm{ch}y-i\sin x\mathrm{sh}y\\ \end{array}$

Például a harmadik és a negyedik egyenlőség levezethető a következőképpen: Ha $z=x+iy$, akkor: $\begin{array}{rl}\exp (iz)& =\cos (x+iy)+i\sin (x+iy)\\ & =\exp (i(x+iy))\\ & =\exp (ix)\exp (i(iy))\\ & =(\cos x\cos (iy)-\sin x\sin (iy))+i(\cos x\sin (iy)+\sin x\cos (iy))\\ & =(\cos x\mathrm{ch}y-i\sin x\mathrm{sh}y)+i(\sin x\mathrm{ch}y+i\cos x\mathrm{sh}y)\\ \end{array}$ Az együtthatók összehasonlításával: $\begin{array}{rl}\cos (x+iy)& =\cos x\mathrm{ch}y-i\sin x\mathrm{sh}y\\ \sin (x+iy)& =\sin x\mathrm{ch}y+i\cos x\mathrm{sh}y\\ \end{array}$

$\mathrm{th}(x+iy)=\frac{\mathrm{sh}(2x)}{\mathrm{ch}(2x)+\cos (2y)}+i\frac{\sin (2y)}{\mathrm{ch}(2x)+\cos (2y)}$

$\mathrm{th}(iy)=i\mathrm{th}y$

$\mathrm{cth}(x+iy)=\frac{\mathrm{sh}(2x)}{\mathrm{ch}(2x)-\cos (2y)}+i\frac{-\sin (2y)}{\mathrm{ch}(2x)-\cos (2y)}$

$\mathrm{cth}(iy)=-i\mathrm{ctg}y$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{sech}(x+\mathrm{i}y)=\frac{2\cosh (x)\cos (y)}{\cosh (2x)+\cos (2y)}+\mathrm{i}\frac{-2\sinh (x)\sin (y)}{\cosh (2x)+\cos (2y)}\\ & \mathrm{sech}(\mathrm{i}y)=\sec (y)\\ & \mathrm{csch}(x+\mathrm{i}y)=\frac{2\sinh (x)\cos (y)}{\cosh (2x)-\cos (2y)}+\mathrm{i}\frac{-2\cosh (x)\sin (y)}{\cosh (2x)-\cos (2y)}\\ & \mathrm{csch}(\mathrm{i}y)=-\mathrm{i}\csc (y)\end{array}$

Kapcsolat a trigonometrikus függvényekkel

A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:

$\begin{array}{rlrlrl}\mathrm{sh}(x)& =\mathrm{tg}(\mathrm{gd}x)& =& \mathrm{tg}(\phi )& & \text{(3)}\\ \mathrm{ch}(x)& =\sec (\mathrm{gd}x)& =& \sec (\phi )\\ \mathrm{th}(x)& =\sin (\mathrm{gd}x)& =& \sin (\phi )& & \text{(4)}\\ \mathrm{sech}(x)& =\cos (\mathrm{gd}x)& =& \cos (\phi )\\ \mathrm{csch}(x)& =\mathrm{ctg}(\mathrm{gd}x)& =& \mathrm{ctg}(\phi )\\ \mathrm{cth}(x)& =\csc (\mathrm{gd}x)& =& \csc (\phi )\\ \end{array}$

ahol $\mathrm{gd}$ a Gudermann-függvény.

Átszámítási táblázat

Függvény	$\mathrm{sh}$	$\mathrm{ch}$	$\mathrm{th}$	$\mathrm{cth}$	$\mathrm{sech}$	$\mathrm{csch}$
$\mathrm{sh}(x)=$	$\mathrm{sh}(x)$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{{\mathrm{ch}}^2(x)-1}$	$\frac{\mathrm{th}(x)}{\sqrt{1-{\mathrm{th}}^2(x)}}$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{{\mathrm{cth}}^2(x)-1}}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}}{\mathrm{sech}(x)}$	$\frac{1}{\mathrm{csch}(x)}$
$\mathrm{ch}(x)=$	$\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2(x)}$	$\mathrm{ch}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{th}}^2(x)}}$	$\frac{\left|\mathrm{cth}\right|}{\sqrt{{\mathrm{cth}}^2(x)-1}}$	$\frac{1}{\mathrm{sech}(x)}$	$\frac{\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}}{|\mathrm{csch}(x)|}$
$\mathrm{th}(x)=$	$\frac{\mathrm{sh}(x)}{\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2(x)}}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\sqrt{{\mathrm{ch}}^2(x)-1}}{\mathrm{ch}(x)}$	$\mathrm{th}(x)$	$\frac{1}{\mathrm{cth}(x)}$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}}$
$\mathrm{cth}(x)=$	$\frac{\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2(x)}}{\mathrm{sh}(x)}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\mathrm{ch}(x)}{\sqrt{{\mathrm{ch}}^2(x)-1}}$	$\frac{1}{\mathrm{th}(x)}$	$\mathrm{cth}(x)$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}}$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}$
$\mathrm{sech}(x)=$	$\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^2(x)}}$	$\frac{1}{\mathrm{ch}(x)}$	$\sqrt{1-{\mathrm{th}}^2(x)}$	$\frac{\sqrt{{\mathrm{cth}}^2(x)-1}}{|\mathrm{cth}(x)|}$	$\mathrm{sech}(x)$	$\frac{|\mathrm{csch}(x)|}{\sqrt{1+{\mathrm{csch}}^2(x)}}$
$\mathrm{csch}(x)=$	$\frac{1}{\mathrm{sh}(x)}$	$\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{{\mathrm{ch}}^2(x)-1}}$	$\frac{\sqrt{1-{\mathrm{th}}^2(x)}}{\mathrm{th}(x)}$	$\mathrm{sgn}(x)\sqrt{{\mathrm{cth}}^2(x)-1}$	$\mathrm{sgn}(x)\frac{\mathrm{sech}(x)}{\sqrt{1-{\mathrm{sech}}^2(x)}}$	$\mathrm{csch}(x)$

Deriváltak

$\frac{d}{dx}\mathrm{sh}x=\mathrm{ch}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{ch}x=\mathrm{sh}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{th}x=1-{\mathrm{th}}^{}x={\text{sch}}^{2}x=1/{\mathrm{ch}}^{}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{cth}x=1-{\mathrm{cth}}^{}x=-{\text{csch}}^{2}x=-1/{\mathrm{sh}}^{}x$

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx} \\ \text{csch}x=-\text{csch} \\ x\mathrm{cth}x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx} \\ \text{sech}x=-\text{sech} \\ x\mathrm{th}x \end{gathered}$$

A tangens hiperbolicus $n$-edik deriváltja

$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{z}^n}\mathrm{th}z=\frac{2^{n+1}{\mathrm{e}}^{2z}}{(1+{\mathrm{e}}^{2z}{)}^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k{A}_{n,k}{\mathrm{e}}^{2kz}$

ahol A_n,k Euler-számok.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sech} \\ x& =-\mathrm{sech} \\ x\cdot \mathrm{th} \\ x=-\frac{\mathrm{sh}x}{{\mathrm{ch}}^{2}x}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{csch} \\ x& =-\mathrm{csch} \\ x\cdot \mathrm{cth} \\ x=-\frac{\mathrm{ch}x}{{\mathrm{sh}}^{2}x}=-\mathrm{csch} \\ x\cdot \sqrt{1+{\mathrm{csch}}^{2}x}\\ \end{array} \end{gathered}$$

Integrálok

$\int \mathrm{sh}cxdx=\frac{1}{c}\mathrm{ch}cx+C$

$\int \mathrm{ch}cxdx=\frac{1}{c}\mathrm{sh}cx+C$

$\int \mathrm{th}cxdx=\frac{1}{c}\ln |\mathrm{ch}cx|+C$

$\int \mathrm{cth}cxdx=\frac{1}{c}\ln |\mathrm{sh}cx|+C$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\int \mathrm{sech}x \\ \mathrm{d}x& =\mathrm{arctg}(\mathrm{sh}x)+C\\ \int \mathrm{csch}x \\ \mathrm{d}x& =\ln |\mathrm{th}\frac{x}{2}|+C\end{array} \end{gathered}$$

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója. Improprius integrál:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{ch}x}=\pi .$

Differenciálegyenletek

A $\mathrm{sh}$ és $\mathrm{ch}$ függvények az

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}f(z)=f(z)$

lineáris differenciálegyenlet alaprendszerét, más néven megoldásbázisát alkotják, ugyanúgy mint az $e^z$ és $e^{-z}$ függvények. Ha a két $f_i(z)$ függvény számára kezdeti feltételként előírjuk, hogy $f_1(0)=0$,${f_1}^{\prime }(0)=1$ és $f_2(0)=1$,${f_2}^{\prime }(0)=0$ legyen, akkor ezzel a $\mathrm{sh}$ és $\mathrm{ch}$ függvényeket választottuk. Ezeket a tulajdonságokat a definícióból is bizonyítani lehet. A $\mathrm{th}$ függvény megoldja a következő differenciálegyenleteket

$f^{\prime }=1-f^2$ vagy

$\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }=f^3-f=f(f^2-1)$

az $f(0)=0$ és $f^{\prime }(\mathrm{\infty })=0$ kezdeti feltételekkel.

Taylor-sorba fejtés

A hiperbolikus függvények Taylor-sorai:

$\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\mathrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\mathrm{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{cth}x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurent-sor)

$\mathrm{sch}x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurent-sor)

ahol

$B_n$ az n-ik Bernoulli-szám

$E_n$ az n-ik Euler-szám

$\mathrm{th}x=\mathrm{sgn}x[1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}2{\mathrm{e}}^{-2k|x|}]$

$\mathrm{cth}x=\frac{1}{x}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{k^2{\pi }^2+x^2}$

A tangens hyperbolicus Taylor-sora így kezdődik:

$\mathrm{th}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}\cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\cdots$

ahol

$B_n$ az n-ik Bernoulli-szám. A konvergenciasugár $\pi /2$.

Végtelen szorzatként

Legyen $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$. Ekkor minden komplex $z$-re:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{sh}z={\left(\frac{2}{i}\right)}^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\mathrm{sh}\frac{z+k\pi i}{n}\\ & \mathrm{ch}z=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\mathrm{ch}\frac{z+(k-\frac{n-1}{2})\pi i}{n}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{sh}x=x\cdot \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{(k\pi {)}^2})\\ & \mathrm{ch}x=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{4x^2}{(2k-1{)}^2{\pi }^2})\end{array}$

Lánctörtként

Johann Heinrich Lambert képlete:

$\mathrm{th}x=\frac{x}{1+\frac{x^2}{3+\frac{x^2}{5+\dots }}}$

Bijektivitás

sh

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

$A:=\{z\in \mathbb{ℂ}\mid -\pi /2<\mathrm{Im}z<\pi /2\}$

$B:=\{z\in \mathbb{ℂ}\mid \mathrm{Re}z\ne 0\vee |\mathrm{Im}z|<1\}$

Ekkor az $\mathrm{sh}x$ függvény bijektíven leképezi az $A$ sávokat a $B$ halmazokra.

ch

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

$A:=\{z\in \mathbb{ℂ}\mid 0<\mathrm{Im}z<\pi \}$

$B:=\{z\in \mathbb{ℂ}\mid \mathrm{Im}z\ne 0\vee |\mathrm{Re}z|<1\}$

Ekkor az $\mathrm{ch}x$ függvény bijektíven leképezi az $A$ sávokat a $B$ halmazokra.

Inverz függvények

A hiperbolikus függvények inverz függvényeit áreafüggvényeknek vagy inverz hiperbolikus függvényeknek nevezzük:

• áreaszinusz hiperbolikus és áreakoszinusz hiperbolikus
• áreatangens hiperbolikus és áreakotangens hiperbolikus
• áreaszekáns hiperbolikus és áreakoszekáns hiperbolikus

Az inverz függvényeket csak olyan leszűkítéseken lehet definiálni, ahol az adott függvény egyértelmű. Így a szinusz hiperbolikust nem kell leszűkíteni, de például a koszinusz hiperbolikust igen: a koszinusz hipőerbolikust az $[0,+\mathrm{\infty }[$ korlátozva definiálják az área koszinusz hiperbolikust. Elemi módszerekkel kiszámolható, hogy:

$\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$.

$\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$.

A tangens hiperbolicus bijektív $\mathrm{th}:\mathbb{ℝ}\to (-1,1)$ függvény. Inverz függvénye az area tangens hiperbolicus, ami az $(-1,1)$ intervallumon értelmezett:

$\mathrm{artanh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}.$

Az area cotangens hiperbolicus:

$\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$

a $(-1,1)$ intervallumon kívül értelmezve.

• Az áreafüggvények grafikonja
• 
  áreaszinusz hiperbolikus
• 
  áreakoszinusz hiperbolikus
• 
  áreatangens hiperbolikus
• 
  áreakotangens hiperbolikus
• 
  áreaszekáns hiperbolikus
• 
  áreakoszekáns hiperbolikus

Hasonlóságok a szögfüggvényekkel

Kör és hiperbola kapcsolata

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk. Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x² + y² = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re. A hiperbolikus függvények periodikusak $2\pi i$ komplex periódus szerint. A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol. A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

• lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
• az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

$\mathrm{sh}(x+y)=\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y+\mathrm{ch}x\mathrm{sh}y$

$\mathrm{ch}(x+y)=\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y+\mathrm{sh}x\mathrm{sh}y$

$\mathrm{th}(x+y)=\frac{\mathrm{th}x+\mathrm{th}y}{1+\mathrm{th}x\mathrm{th}y}$

A „kétszeres szög” képletek:

$$\begin{gathered} \mathrm{sh}2x \\ =2\mathrm{sh}x\mathrm{ch}x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ch}2x \\ ={\mathrm{ch}}^{}x+{\mathrm{sh}}^{}x=2{\mathrm{ch}}^{}x-1=2{\mathrm{sh}}^{}x+1 \end{gathered}$$

és a „fél-szög” képletek:

${\mathrm{ch}}^2\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}x+1}{2}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.

${\mathrm{sh}}^2\frac{x}{2}=\frac{\mathrm{ch}x-1}{2}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.

Az $\mathrm{sh}x$ deriváltja $\mathrm{ch}x$, a $\mathrm{ch}x$ deriváltja pedig $\mathrm{sh}x$.

Numerikus számítások

A tangens hyperbolicus számítható a $\mathrm{th}x=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$ képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz:

• Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja
• Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.

Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók:

• $x$ akkora pozitív szám, hogy $x>k\cdot \frac{\ln 10}{2}$. Ekkor

$\mathrm{th}x=+1$, ahol $k$ a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.

• $x$ nagy abszolútértékű negatív szám úgy, hogy $x<-k\cdot \frac{\ln 10}{2}$, ahol $k$ szerepe a nagy pozitív számnál szereplő $k$-hoz hasonló. Ekkor az előző esethez hasonlóan $\mathrm{th}x=-1$.
• $x$ abszolútértékben kicsi. Például, ha $-0,1<x<+0,1$, akkor $\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{{\mathrm{e}}^x-\mathrm{sh}x}$,

ahol $\mathrm{sh}x$ jól közelíthető Taylor-sorának első néhány tagjával:

$\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dots$

• A többi hely esetén marad az eredeti képlet:

$\mathrm{th}x=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$

Alkalmazások

Az $f^{″}(x)-f(x)=0$ differenciálegyenlet megoldásai az

$f(x)=a\cdot \mathrm{sh}x+b\cdot \mathrm{ch}x$, ahol $a,b\in \mathbb{ℝ}$

alakú függvények. Egy csak saját súlya által terhelt homogén lánc alakját hiperbolikus koszinusz függvénnyel lehet leírni. Ezt az alakot láncgörbének vagy katenoidnak hívják. Egy x irányú Lorentz-transzformáció $\lambda$ rapiditása segítségével a transzformáció mátrixa így írható le:

$L=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{ch}\lambda & -\mathrm{sh}\lambda & 0& 0\\ -\mathrm{sh}\lambda & \mathrm{ch}\lambda & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Látható a hasonlóság a forgatómátrixszal, amivel a négydimenziós Lorentz-transzformációk és a forgatások közötti hasonlóság is felismerhető. A hiperbolikus szinusz és koszinusz a kozmológiában is előfordul. Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a skálafaktorok növekedését leíró összefüggés:

$a(t)={(\sqrt{\frac{1-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}}{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}}}\sinh \left(\frac{t}{t_{\mathrm{c}\mathrm{h}}}\right))}^{2/3}$,

ahol $t_{\mathrm{c}\mathrm{h}}=\frac{2}{3\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}}{H}_0}$karakterisztikus időskála; $H_0$ aktuális Hubble-paraméter és ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}$ a sötét energia sűrűségparamétere. Az anyag sűrűségparaméterének időbeli függőségénél a koszinusz hiperbolikusz bukkan fel:

${\mathrm{\Omega }}_M(t)={\cosh }^{-2}\left(\frac{t}{t_{\mathrm{c}\mathrm{h}}}\right)$.

A tangens és a cotangens hyperbolicus használható arra, hogy az eltelt idő függvényében kiszámítsuk a légellenállásos esés sebességét, illetve turbulens áramlásban esik a tárgy (Newton-súrlódás). A koordináta-rendszert úgy rögzítjük, hogy a helytengely felfelé mutasson, tehát a térbeli mozgás tükörképeként. A sebesség az $\dot{v}=-g+k{v}^2$ differenciálegyenletből számítható, ahol $g$ nehézségi gyorsulás, $k$ pozitív konstans, melynek mértékegysége $1/m$. A végsebesség $v_{\mathrm{g}}=-\sqrt{\frac{g}{k}}<0$, ami a sebesség $t\to \mathrm{\infty }$ határértéke. Teljesül továbbá, hogy:

• az esés vagy hajítás kezdeti sebessége kisebb, mint a végsebesség: $v(t)=v_{\mathrm{g}}\cdot \mathrm{th}(\sqrt{gk}t+c)$, ahol $c=\mathrm{artanh}\frac{v(0)}{v_{\mathrm{g}}}\ge 0$
• hajítás esetén a kezdősebesség nagyobb, mint a végsebesség: $v(t)=v_{\mathrm{g}}\cdot \mathrm{cth}(\sqrt{gk}t+c)$, ahol $c=\mathrm{arcoth}\frac{v(0)}{v_{\mathrm{g}}}>0$

A speciális relativitáselméletben a $v$ sebesség és a $\theta$ rapiditás összefüggése $v=c\cdot \mathrm{th}\theta$, ahol $c$ a fénysebesség. A kvantummechanikában egy kétállapotú rendszert ért termikus hatást írja le: Legyen $n$ az állapotokat ért összhatás, és $E$ az állapotok közötti energiakülönbség. Így a hatásszámok különbsége $\delta n=n\cdot \mathrm{th}\frac{E}{2k_{\mathrm{B}}T}$, ahol $k_{\mathrm{B}}$ Boltzmann-állandó, és $T$ abszolút hőmérséklet. Paramágnes mágnesesezésének leírásához fontos a Brillouin-függvény:

$B_J(x)=\frac{1}{J}[(J+\frac{1}{2})\mathrm{cth}(Jx+\frac{x}{2})-\frac{1}{2}\mathrm{cth}\frac{x}{2}]$

A kozmológiában Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a Hubble-paraméter időbeli változását leíró összefüggés: $H(t)=H_g\mathrm{cth}\frac{t}{t_{ch}}$, ahol $t_{ch}=\frac{2}{3H_g}$ karakterisztikus időskála, és $H_g=\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}}{H}_0$ a Hubble-paraméter határértéke $t\to \mathrm{\infty }$ esetén; $H_0$ a Hubble-paraméter kiinduláskori értéke, és ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}$ a sötét energia sűrűségparamétere. A sötét energia sűrűségparaméterét pedig az ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}(t)={\mathrm{th}}^2(t/t_{ch})$. összefüggés írja le.

Kapcsolódó szócikkek

• Inverz hiperbolikus függvények
• Hiperbolikus függvények integráljainak listája
• Láncgörbe
• Euler-féle szám
• Gudermann-függvény

További információk

• Hyperbolic functions MathWorld megfelelő oldala
• GonioLab: Egységsugarú kör, szögfüggvények és hiperbolikus függvények szemléltetése.

Források

• Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).
• Yu. V. Sudorov. Inverse hyperbolic functions 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Hyperbelfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben az Areafunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.