Általános magasságtétel

Az általános magasságtétel az euklideszi geometria egyik elemi tétele, mely egy háromszög magasságát az oldalak (négyzetgyök-kifejezést tartalmazó) függvényében adja meg; kimondja, hogy egy háromszög három oldalának ismeretében kiszámítható a háromszög bármelyik magassága. Az általános magasságtételt egyébként a derékszögű háromszögekre vonatkozó magasságtételtől való megkülönböztetés érdekében mondjuk „általánosnak”. Például ha a háromszögoldalak $a,b,c$ $(\in {\mathbb{ℝ}}^{+})$, akkor a $c$ oldalhoz tartozó magasságot az alábbi tört alakú képlet adja meg:

$m_c=\frac{\sqrt{a+b+c}\cdot \sqrt{-a+b+c}\cdot \sqrt{a-b+c}\cdot \sqrt{a+b-c}}{2c}=$ $\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2c}$

amely mindig értelmes, nem negatív valós szám; tetszőleges $a,b,c\ge 0$ számokra ugyanis a háromszög-egyenlőtlenség miatt a gyökjelek alatti kifejezések pozitívak. Hasonlóan lehet a többi oldalhoz tartozó magasságot is kiszámítani, csak a képlet nevezőjében nem a $c$, hanem a megfelelő oldallal kell osztani. Szavakban megfogalmazva, egy háromszög adott oldalhoz tartozó magasságát úgy számíthatjuk ki, hogy a három oldal összegét megszorozzuk az oldalak olyan előjeles összegeivel, melyekben mindig pontosan egy oldal -1, a többi +1 együtthatóval szerepel, az így kapott négytényezős szorzatból négyzetgyököt vonunk, és osztjuk az adott oldal kétszeresével. Figyeljük meg, hogy a törtképlet számlálója nem függ attól, épp melyik oldalhoz tartozó magasságot számítjuk: a számláló az $a,b,c$ paraméterekre nézve teljesen szimmetrikus. Ennek így is kell lennie, hisz ha jobban megnézzük (pontosabban c-vel szorzunk és osztunk 2-vel), a számláló a háromszög területének a négyszerese. Az általános magasságtétel – amely tompaszögű háromszögekre ugyanúgy érvényes, mint a hegyesszögűekre és a derékszögűekre – bizonyítása a Pitagorasz-tételen alapulhat, és egyik fontos matematikai alkalmazását a Hérón-képlet levezetésében találjuk, mely utóbbi bizonyítása az általános magasságtételből tulajdonképp csak annyi, hogy egy új változót vezetünk be (az $s=\frac{a+b+c}{2}$ félkerületet).

Lásd még

• Hérón-képlet
• Háromszög magassága

Irodalom

• Dr. Gerőcs László: Irány az egyetem! – 1995. Példatár. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1995. ISBN 9631861880 [E könyvben a Pitagorasz-tételre alapozó bizonyítás is megtalálható.]