Kilencszög

Kilencszög
Általános kilencszög
Élek, csúcsok száma	9
Átlók száma	27
Belső szögek összege	1260°
Szabályos kilencszög
Schläfli-szimbólum	{9}
Szimmetriacsoport	D9 diédercsoport
Terület: egységnyi oldalra	6,181824
Belső szög	140°

A kilencszög egy sokszög, amelyet 9 síkbeli pont határoz meg.

Szabályos kilencszög

A szabályos kilencszög minden szöge 140°. A kilenc generáló egyenlőszárú háromszög befogói 40°-os szöget zárnak be.

A szabályos sokszögek szögeire ismert az alábbi képlet:

$\alpha =\frac{(n-2)}{n}\cdot 180^{\circ }$

amely n=9 esetben

$\alpha =\frac{7}{9}\cdot 180^{\circ }=140^{\circ }$

Területe

A szabályos kilencszög területe a következőképpen határozható meg az oldalhossz függvényében:

$A=\frac{9}{4}\cdot a^2\cdot \frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}$

Ha a köréírható kör sugara ismert, akkor annak segítségével így:

$A=\frac{9}{2}\cdot r^2\cdot \sin 40^{\circ }$

Az oldalhossz és a sugár viszonya

A szabályos kilencszög oldalhossza és a köréírható kör sugara között az alábbi összefüggés mutatható meg:

$s=2\cdot r\cdot \sin 20^{\circ }$

$s\approx r\cdot 0,68404029$

Átlók

A szabályos kilencszögnek háromféle átlója van. Amelyik 2, 3 illetve 4 oldalt fog át. Ezek hosszai rendre a következők:

$d_2=2r\sin 40^{\circ }$

$d_3=2r\sin 60^{\circ }$

$d_4=2r\sin 80^{\circ }$

A legrövidebb és a leghosszabb átló hosszának különbsége megegyezik az oldalhosszal:

$s=d_4-d_2$