Lineáris törtfüggvények

Lineáris törtfüggvénynek nevezik a komplex függvénytanban az $\frac{az+b}{cz+d}$ alakú függvényeket, ahol $ad-bc\ne 0$, és a,b,c,d komplex számok. Az elemi matematikában (annak valós függvénytan c. részében) az a,b,c,d együtthatók valós számok. A komplex számsíkon értelmezett lineáris törtfüggvények regulárisak és kölcsönösen egyértelműek. A kétszer kettes komplex mátrixok csoportjával izomorf háromszorosan tranzitív csoportot alkotnak a kompozícióra.

Csoport

A csoportművelet a kompozíció. Az egységelem az identitás. A $\frac{az+b}{cz+d}$ lineáris törtfüggvény inverze a $\frac{dz-b}{-cz+a}$ lineáris törtfüggvény. A csoportot generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az $\frac{1}{z}$ függvény: $\frac{az+b}{cz+d}=\frac{bc-ad}{c^2(z+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}$

Projektív szemlélet

A lineáris törtfüggvények a komplex projektív egyenes kettősviszonytartó transzformációinak tekinthetők. Így bizonyíthatók a következő tulajdonságok:

• A csoport háromszorosan tranzitív
• Csak az identitás hagy helyben három pontot
• Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes

Legyen egy pontpár egyenesre szimmetrikus, ha tükörképek, és körre szimmetrikus, ha egymás inverz képe.

• Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus

További tulajdonságok

• Körbelsőt vagy félsíkot körbelsőre, körkülsőre, vagy félsíkra képeznek
  • Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.
• Körlap vagy félsík körlapra való reguláris és kölcsönösen egyértelmű leképezése lineáris törtfüggvény

Bizonyítások

Háromszoros tranzitivitás

Tétel: A lineáris függvények csoportja háromszorosan tranzitív. Definíció: Négy komplex szám, $z_1,z_2,z_3,z_4$ kettősviszonya a $(z_1,z_2,z_3,z_4)=\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}:\frac{z_2-z_3}{z_2-z_4}$ hányados. Bizonyítás: Jelölje $S(z)$ a $(z,z_2,z_3,z_4)$ kettősviszonyt. Legyen továbbá $S(z_2)=1,$ $S(z_3)=0,$ $S(z_4)=\mathrm{\infty }$. Ekkor $S(z)$ lineáris transzformáció. Hasonlóan, legyen $S_1(w)$ a $(w,w_2,w_3,w_4)$ kettősviszony. Legyen továbbá $S_1(w_2)=1,$ $S_1(w_3)=0,$ $S(w_4)=\mathrm{\infty }$. Ekkor $S_1(w)$ is lineáris transzformáció. Tekintsük az $S_1^{-1}\circ S$ transzformációt. Ez lineáris függvény, és az adott $z_i$ pontokat az adott $w_i$ pontokba viszi.

Kör vagy egyenes képe

Tétel: Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes. Bizonyítás: A lineáris törtfüggvények csoportját generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az $\frac{1}{z}$ függvény. Ezek a függvények kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át, ugyanis az eltolások, forgatások és nyújtások hasonlósági transzformációk, az $\frac{1}{z}$ függvény meg az invertálás konjugáltja, ezek pedig szintén kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át.

Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe

Tétel: Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus. Bizonyítás: Jelöljön $P$ és $P^1$ egy szimmetrikus pontpárt. Tekintsük a szimmetria alapkörét vagy tengelyét. A $P$ pontot tartalmazó egyenesek és körök, amelyek merőlegesen metszik az alapkört vagy a tengelyt, még egy közös ponttal bírnak: $P^1$-gyel. A lineáris függvény szögtartó a kölcsönös egyértelműség és a regularitás miatt, ezért a $P,P^1$ pontpár képére ugyanezek az illeszkedési tulajdonságok teljesülnek. Így szimmetrikus pontpár képe szimmetrikus pontpár.

Irányítás és a körbelső képe

Tétel: Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz. Bizonyítás: Legyen $\gamma$ pozitív irányítású körvonal. Vegyünk $\gamma$ belsejében egy tetszőleges $w$ pontot. Jelölje $T(z)$ a lineáris törtfüggvényt, és tegyük fel, hogy a $\gamma$ körvonal $T(\gamma )$ képe körvonal. Ha $\gamma$ belseje $T(\gamma )$ belsejébe képződik le, akkor $T(z)=w$ egy, a $\gamma$ körvonal belsejében levő $z$ pontra, és $T(z)$-nek nincs pólusa a kör belsejében. Az argumentumelv szerint $T(\gamma )$ körülfordulási száma a tetszőleges $w$-re 1. Ha $\gamma$ belseje $T(\gamma )$ külsejébe képződik le, akkor $T(z)\ne w$ minden, a $\gamma$ körvonal belsejében fekvő $z$ pontra, és a $T(z)$ lineáris törtfüggvénynek van egy pólusa. Az argumentumelv szerint $T(\gamma )$ körülfordulási száma a tetszőleges $w$-re -1.

Körök és félsíkok kölcsönösen egyértelmű reguláris leképezései

Tétel: Körlap vagy félsík csak lineáris törtfüggvénnyel képezhető le körlapra vagy félsíkra kölcsönösen egyértelmű és reguláris módon. Bizonyítás: Legyen $z_0$ tetszőleges pont a körlapon vagy a félsíkon. Mindkét kört vagy félsíkot képezzük az egységkörre lineáris törtfüggvénnyel úgy, hogy $z_0$ és képe 0-ba menjen. Feltehető tehát, hogy $f(z)=w$ az egységkört önmagára képezi le, és a nulla képe nulla. A Schwarz-lemmával: $|w|=|f(z)|\le |z|$ és $|z|=|f^{-1}(w)|\le |w|,$ és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $f(z)=\varrho z.$

Források

Halász Gábor: Komplex függvénytan