Mittag-Leffler-tétel

A komplex analízisben Mittag-Leffler tétele azt állítja, hogy tetszőlegesen megadott pólusokhoz van meromorf függvény. Megfordítva használható arra, hogy a meromorf függvényeket parciális törtekre bontsa. Testvére Weierstrass faktorizációs tétele, ami azt állítja, hogy tetszőlegesen megadott nullhelyekhez van holomorf függvény. A tételt a svéd Magnus Gösta Mittag-Leffler után nevezték el.

Állítása

Legyen D nyílt halmaz $\mathbb{ℂ}$-ben, és legyen $E\subset D$ zárt diszkrét részhalmaz. Ekkor minden $a$ komplex számra $E$-ben legyen $p_a(z)$ polinom $1/(z-a)$-ban. Ekkor van egy $f$ meromorf függvény $D$-ben, hogy minden $a\in E$ esetén a $f(z)-p_a(z)$ függvény szingularitása megszüntethető $a$-ban. Eszerint $f$ főrésze $a$-ban $p_a(z)$.

Példa

Legyen f(z) olyan, hogy az összes pozitív egészeken egyszerű pólusa van, és reziduuma 1! A fenti jelölésekkel legyen

$p_k=\frac{1}{z-k}$

és $E={\mathbb{\mathbb{Z}}}^{+}$. A Mittag-Leffler-tétel azt állítja, hogy van egy $f$ meromorf függvény, aminek főrésze $p_k(z)$ minden pozitív $z=k$ esetén. Ez az $f$ megfelelő lesz. Konstruktívabban,

$f(z)=z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(z-k)}$.

Ez a sorozat normálisan konvergál teljes $\mathbb{ℂ}$-n a kívánt függvényhez, ahogy az a Weierstrass-féle M-teszttel is igazolható.

Meromorf függvények pólus kiterjesztései

Néhány példa meromorf függvények pólus kiterjesztéseire:

$\frac{1}{\sin (z)}=\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}\frac{(-1{)}^n}{z-n\pi }=\frac{1}{z}+2z\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{z^2-(n\pi {)}^2}$

$\cot (z)\equiv \frac{\cos (z)}{\sin (z)}=\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}\frac{1}{z-n\pi }=\frac{1}{z}+2z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^2-(k\pi {)}^2}$

$\frac{1}{{\sin }^2(z)}=\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}\frac{1}{(z-n\pi {)}^2}$

$\frac{1}{z\sin (z)}=\frac{1}{z^2}+\sum _{n\ne 0}\frac{(-1{)}^n}{\pi n(z-\pi n)}=\frac{1}{z^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n\pi }\frac{2z}{z^2-(n\pi {)}^2}$

Bizonyítása

Jegyezzük meg, hogy ha $E$ véges, akkor legyen $f(z)=\sum _{a\in E}{p}_a(z)$. Ha $E$ nem véges, akkor legyen $S_F(z)=\sum _{a\in F}{p}_a(z)$, ahol F véges részhalmaza E-nek. Ha $S_F(z)$ nem konvergál, ha megközelíti F az E-t, akkor alkalmasan választott racionális függvényeket levonva a konvergencia biztosítható. A főrész változatlan marad, ha ezeknek a függvényeknek nincs pólusuk D-ben.

Források

• Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill (published 1979), ISBN 0-07-000657-1.
• Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mittag-Leffler's theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.