Standard skalárszorzat

A standard skalárszorzat a matematikában általában használt skalárszorzat véges dimenziós valós, illetve komplex vektorterekben. Segítségével bevezethető a merőlegesség, a szög fogalma a koordinátageometriába, illetve általánosítható négy, illetve magasabb dimenziókba. Ahogy más skalárszorzatok, valós esetben a standard skalárszorzat pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben pozitív definit hermitikus szeszkvilineáris forma, én invariáns ortogonális, illetve unitér transzformációkra. A skalárszorzatból származtatható norma is, amivel definiálható a hossz és a távolság.

Valós eset

Definíció

Legyenek $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^n$ vektorok úgy, hogy $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$ és $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n{)}^T$. Ekkor standard skalárszorzatuk

$⟨x,y⟩:=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x^{T}y$,

ahol $x^T$ az $x$ vektor transzponáltja. Ennek a szorzatnak az eredménye egy valós szám. Alternatívan, a hegyes zárójelek mellett használják még az $x\cdot y$ jelölést is.

Példa

A háromdimenziós térben az $x=(1,2,-3{)}^T$ és $y=(5,-4,1{)}^T$ vektorok standard skalárszorzata

$⟨x,y⟩=1\cdot 5+2\cdot (-4)+(-3)\cdot 1=5-8-3=-6$.

Tulajdonságok

A standard skalárszorzat természetes módon teljesíti a skalárszorzat tulajdonságait. Bilineáris, azaz lineáris az első argumentumában

$⟨\lambda x,y⟩=(\lambda x_1)y_1+\cdots +(\lambda x_n)y_n=\lambda (x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n)=\lambda ⟨x,y⟩$   és

$⟨x+y,z⟩=(x_1+y_1)z_1+\cdots +(x_n+y_n)z_n=(x_1{z}_1+\cdots +x_n{z}_n)+(y_1{z}_1+\cdots +y_n{z}_n)=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$,

és a másodikban

$⟨x,\lambda y⟩=x_1(\lambda y_1)+\cdots +x_n(\lambda y_n)=\lambda (x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n)=\lambda ⟨x,y⟩$   és

$⟨x,y+z⟩=x_1(y_1+z_1)+\cdots +x_n(y_n+z_n)=(x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n)+(x_1{z}_1+\cdots +x_n{z}_n)=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$.

továbbá szimmetrikus, mivel

$⟨x,y⟩=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n=y_1{x}_1+\cdots +y_n{x}_n=⟨y,x⟩$,

és pozitív definit, hiszen

$⟨x,x⟩=x_1^2+\cdots +x_n^2\ge 0$ und

$⟨x,x⟩=0\iff x_1^2+\cdots +x_n^2=0\iff x_1^2=\cdots =x_n^2=0\iff x=0$.

Komplex eset

Legyenek $x,y\in {\mathbb{ℂ}}^n$ komplex vektorok egy véges dimenziós komplex vektortérben. Ekkor standard skalárszorzatuk kétféleképpen definiálható:

$⟨x,y⟩:={\overline{x}}_1{y}_1+{\overline{x}}_2{y}_2+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n=\sum _{i=1}^n{\overline{x}}_i{y}_i=x^{H}y$

illetve

$⟨x,y⟩:=x_1{\overline{y}}_1+x_2{\overline{y}}_2+\cdots +x_n{\overline{y}}_n=\sum _{i=1}^n{x}_i{\overline{y}}_i=y^{H}x$,

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, és $x^H$ az $x$ vektorhoz adjungált vektor. Mindkét konvenció szerint az eredmény egy komplex szám, melyek csak konjugálásban különböznek, mivel $x^{H}y=(y^{H}x{)}^H$.

Példák

Legyenek $x=(i,2-i{)}^T$ és $y=(i-1,2{)}^T$ vektorok a kétdimenziós komplex térben. Az első változat szerint

$⟨x,y⟩=\overline{i}\cdot (i-1)+\overline{(2-i)}\cdot 2=-i\cdot (i-1)+(2+i)\cdot 2=(1+i)+(4+2i)=5+3i$

és a második változat szerint ennek konjugáltja,

$⟨x,y⟩=i\cdot \overline{(i-1)}+(2-i)\cdot \overline{2}=i\cdot (-i-1)+(2-i)\cdot 2=(1-i)+(4-2i)=5-3i$.

Tulajdonságok

Teljesülnek a skalárszorzattól elvárt tulajdonságok. A következő tulajdonságokat az első változaton mutatjuk be; a másodikra hasonlók állnak fenn. Az első változat szerint az első tényezőben konjugálunk, úgyhogy szemilineáris az első argumentumában,

$⟨\lambda x,y⟩=(\lambda x{)}^{H}y=\overline{\lambda }(x^{H}y)=\overline{\lambda }⟨x,y⟩$   és

$⟨x+y,z⟩=(x+y{)}^{H}z=x^{H}z+y^{H}z=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$,

illetve lineáris a másodikban:

$⟨x,\lambda y⟩=x^H(\lambda y)=\lambda (x^{H}y)=\lambda ⟨x,y⟩$   und

$⟨x,y+z⟩=x^H(y+z)=x^{H}y+x^{H}z=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$.

továbbá hermitikus, mivel

$⟨x,y⟩=x^{H}y=(y^{H}x{)}^H=\overline{⟨y,x⟩}$,

és pozitív definit, hiszen

$⟨x,x⟩=x^{H}x=|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2\ge 0$ und

$⟨x,x⟩=0\iff x^{H}x=0\iff |x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2=0\iff |x_1{|}^2=\cdots =|x_n{|}^2=0\iff x_1=\cdots =x_n=0\iff x=0$,

ahol $|\cdot |$ a komplex abszolútérték. A második változat tulajdonságai hasonlóak, de az első tényező helyett a másodikban kell konjugálni, ami azt jelenti, hogy lineáris az első és szemilineáris a második argumentumban. Valós esetekre leszűkítve visszakapjuk a valós skalárszorzatot: a valós számok önmaguk konjugáltjai, az adjungálás pedig a transzponáltat adja.

Tulajdonságok

Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség

Mint minden skalárszorzat, úgy a standard skalárszorzat is teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, ami azt jelenti, hogy minden $x,y\in {\mathbb{𝕂}}^n$ esetén, ahol $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$ vagy $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$, teljesül, hogy

${|⟨x,y⟩|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩$.

Valós esetben az abszolútérték jelek elhagyhatók. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség a lineáris algebra és az analízis egyik központi egyenlőtlensége. Például következik belőle a $⟨\cdot ,\cdot ⟩:{\mathbb{𝕂}}^n\times {\mathbb{𝕂}}^n\to \mathbb{𝕂}$ standard skalárszorzat folytonossága.

Eltolási tulajdonság

Minden $A\in {\mathbb{ℝ}}^{m\times n}$ mátrixra és minden $x\in {\mathbb{ℝ}}^n,y\in {\mathbb{ℝ}}^m$ vektorra:

$⟨Ax,y⟩=(Ax{)}^{T}y=x^T{A}^{T}y=x^T(A^{T}y)=⟨x,A^{T}y⟩$,

ahol $A^T$ az $A$ mátrix transzponáltja. Hasonlóan, minden $A\in {\mathbb{ℂ}}^{m\times n}$ komplex mátrixra és $x\in {\mathbb{ℂ}}^n,y\in {\mathbb{ℂ}}^m$ vektorra

$⟨Ax,y⟩=(Ax{)}^{H}y=x^H{A}^{H}y=x^H(A^{H}y)=⟨x,A^{H}y⟩$,

ahol $A^H$ az $A$-hoz adjungált mátrix.

Unitér invariancia

A valós skalárszorzat nem változik ortogonális transzformáció hatására, ami azt jelenti, hogy ha $A\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$ ortogonális, akkor teljesül rá az

$⟨Ax,Ay⟩=⟨x,A^{T}Ay⟩=⟨x,A^{-1}Ay⟩=⟨x,Iy⟩=⟨x,y⟩$,

eltolási tulajdonság, ahol $A^{-1}$ a mátrix inverze, és $I$ az $n\times n$-es egységmátrix. Az ortogonális transzformációk tipikusan origó körüli forgatások, illetve origón átmenő síkra való tükrözések. Analóg módon a komplex skalárszorzat invariáns az unitér transzformációkra, vagyis ha $A\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times n}$ unitér mátrix, akkor

$⟨Ax,Ay⟩=⟨x,A^{H}Ay⟩=⟨x,A^{-1}Ay⟩=⟨x,Iy⟩=⟨x,y⟩$.

Származtatott fogalmak

Szög

A valós skalárszorzattal meghatározható két vektor közötti szög. Legyenek $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^n\setminus \{0\}$, ekkor az általuk közrezárt $\phi$ szög

$\cos (\phi )=\frac{⟨x,y⟩}{\sqrt{⟨x,x⟩}\sqrt{⟨y,y⟩}}=\frac{x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n}{\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\sqrt{y_1^2+\cdots +y_n^2}}$

A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség miatt a tört nevezője legalább akkora, mint a számláló abszolútértéke, így a $\phi$ szög a $[0,\pi ]$ intervallumba esik, azaz $0^{\circ }$ és $180^{\circ }$ közötti. Hogyha $x$ és $y$ egységvektorok, akkor az általuk közrezárt szög koszinusza éppen a skalárszorzatuk. A komplex vektorok által közrezárt szögekre különböző definíciók léteznek.

Ortogonalitás

Ahogy a valós, úgy a komplex vektorok is ortogonálisak, ha standard skalárszorzatuk

$⟨x,y⟩=0$

Ekkor a képlet alapján $\phi =\arccos 0=\frac{\pi }{2}=90^{\circ }$, ha egyik sem nullvektor. Ha pedig valamelyik nullvektor, akkor definíció szerint tetszőleges irányú, tehát tekinthetjük merőlegesnek a másik vektorra. Ha tekintünk egy origón átmenő egyenest, síkot, vagy általánosabban egy $k$ dimenziós $U$ alteret az $n$ dimenziós valós vagy komplex térben, és $\{u_1,\dots ,u_k\}$ ortonormált bázis $U$-ban, akkor

$y=⟨x,u_1⟩u_1+\cdots +⟨x,u_k⟩u_k\in U$

a kiindulási tér egy $x$ vektorának ortogonális projekciója. Ekkor az $x-y$ különbségvektor $U$ ortogonális komplementerében van, tehát merőleges az $U$ altér minden vektorára, vagyis $⟨x-y,u⟩=0$ minden $u\in U$ vektorra.

Norma

A standard skalárszorzat által indukált norma az

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}=\sqrt{|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2}$

euklideszi norma. Ez jóldefiniált, mert egy vektor önmagával vett skalárszorzata mindig valós és nemnegatív. Valós esetben az abszolútérték elhagyható. Az euklideszi norma megfeleltethető a vektor hosszának.

Metrika

Az euklideszi normából, mint hosszúságból metrika származtatható, tehát távolságot is tudunk mérni:

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert =\sqrt{⟨x-y,x-y⟩}=\sqrt{|x_1-y_1{|}^2+\cdots +|x_n-y_n{|}^2}$

Valós esetben az abszolútérték elhagyható. A metrikából topológia származtatható, ${\mathbb{ℝ}}^n$, illetve ${\mathbb{ℂ}}^n$ standard topológiája.

Általánosítások

Véges dimenzió

A skalárszorzat eddigi fogalma átvihető az ${\mathbb{ℝ}}^n$ illetve ${\mathbb{ℂ}}^n$ standard vektorterekről általánosabb véges $n$ dimenziós valós vagy komplex vektorterekre. Ha $\{e_1,\dots ,e_n\}$ ortonormált bázis $V$-ben egy tetszőleges $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skalárszorzat szerint, akkor minden $v\in V$ előáll, mint

$v=\sum _{i=1}^n{v}_i{e}_i$ ahol   $v_i=⟨v,e_i⟩$ minden $i=1,\dots ,n$-re,

ahol $v_i{e}_i$ a vektor komponensei, és $v_i\in \mathbb{𝕂}$ a vektor koordinátái ebben a bázisban. A koordináták a vektor ortogonális vetületeinek hossza a bázisvektorok irányában. Ekkor a $v,w\in V$ vektorok skalárszorzata számítható, mint

$⟨v,w⟩=⟨\sum _{i=1}^n{v}_i{e}_i,\sum _{j=1}^n{w}_j{e}_j⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\overline{v}}_i{w}_j⟨e_i,e_j⟩=\sum _{i=1}^n{\overline{v}}_i{w}_i$

Ha a mátrixokat megfelelő hosszú vektorokként fogjuk fel, akkor a skalárszorzat felfogható a mátrixok Frobenius-skalárszorzataként.

Sorozatterek

A standard skalárszorzat általánosítható sorozatterekre, így végtelen dimenziós vektorterekre is; azonban nem jöhet számításba az összes végtelen sorozatot tartalmazó vektortér, hiszen a skalárszorzatnak végesnek kell lennie. A jelen példa az ${\ell }^2$ valós vagy komplex sorozatteret tekinti, melynek elemei azok az $(a_i{)}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}=(a_1,a_2,\dots )\in {\mathbb{𝕂}}^{\mathbb{\mathbb{N}}}$ valós vagy komplex értékű sorozatok, melyekre

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|a_i{|}^2<\mathrm{\infty }$

Legyen $(a_i{)}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}},(b_i{)}_{i\in \mathbb{\mathbb{N}}}\in {\ell }^2$ két ilyen sorozat, ekkor ${\ell }^2$-skalárszorzatuk:

${⟨(a_i),(b_i)⟩}_{{\ell }^2}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\overline{a}}_i{b}_i$

Általánosabb, választhatunk a természetes számok helyett egy $I$ indexhalmazt, és tekintheti az ${\ell }^2(I)$ tereket, amik az $I$-ben négyzetesen összegezhető sorozatok tere. Ekkor definiálható az

${⟨(a_i),(b_i)⟩}_{{\ell }^2(I)}=\sum _{i\in I}{\overline{a}}_i{b}_i$.

skalárszorzat. Ebből a másik komplex változat konjugálással, a valós eset pedig a konjugálás elhagyásával kapható.

Források

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter. Mathematik verstehen und anwenden. Von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag (2011) 
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann. Lineare Algebra, 3., Berlin, Heidelberg: Springer (2021) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Standardskalarprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.