Wiener-folyamat

Innen: Hungaropédia
Ugrás a navigációhozUgrás a kereséshez

A Wiener-folyamat egy időben folytonos sztochasztikus folyamat, melyet Norbert Wiener (1894–1964) amerikai matematikusról neveztek el. Ezt a folyamatot Brown-mozgásnak is szokták hívni. Ez az egyik legismertebb Lévy-folyamat, és gyakran előfordul az alkalmazott matematikában, a közgazdaságban, a fizikában, és a pénzügyi folyamatoknál. A Wiener-folyamat fontos szerepet játszik az elméleti és az alkalmazott matematikában. Az elméleti matematikában a Wiener-folyamat segíti az időben folytonos martingál kutatásokat. A Wiener-folyamat kulcsfontosságú folyamat, mely lehetővé teszi jóval bonyolultabb sztochasztikus folyamatok leírását. Alapvető szerepe van a sztochasztikus számításoknál, a diffúziós folyamat és a potenciál elméletnél. Az alkalmazott matematikában a Wiener-folyamatot a Gauss-féle fehér zaj integráljának kifejezésére használják, és így ez egy hasznos modell az elektronikai műszaki tudományokban a zaj modellezésre, a szűrő (jelfeldolgozás) elméletben, és a szabályozáselméletben az ismeretlen erők analízisénél. A Schrödinger-egyenlet egy megoldása is kifejezhető a Wiener-folyamattal. A pénzügyi folyamatok matematikai elméletében is alkalmazzák, különösen a Black–Scholes-modellben.

A Wiener-folyamat jellemzői

Definíció

Wiener-folyamat alatt olyan W:Ω×[0,∞)→ℝ sztochasztikus folyamatot értünk, amely kielégíti az alábbi négy tulajdonságot:

  1. W0=0, azaz ∀ω∈Ω:W(ω,0)=0
  2. Folytonos trajektóriájú, azaz minden ω∈Ω esetén a t↦W(ω,t) leképezés mindenhol folytonos
  3. Minden 0<t1<t2<...<tr véges indexhalmazra a Wt1−Wt0,Wt2−Wt1,...,Wtr−Wtr−1 változók függetlenek egymástól.
  4. Minden t≥s≥0 esetén Wt−Ws∼N(0,t−s).

Mindez az (Ω,ℱ,P) valószínűségi mező fölött. Wt alatt az ω↦W(ω,t) valószínűségi változót értjük. N(μ, σ2) normális eloszlás μ várható értékkel, és σ2 szórásnégyzettel. A független növekmények azt jelentik, hogy ha 0 ≤ s1 < t1 ≤ s2 < t2, akkor Wt1−Ws1 és Wt2−Ws2 független valószínűségi változók, és hasonló feltételek érvényesek n növekményre is. A Wiener-folyamat egy másik jellemzése az úgynevezett Lévy-féle leírás, mely azt mondja, hogy a Wiener-folyamat majdnem biztosan folytonos martingál W0 = 0 mellett, és a kvadratikus variáció [Wt, Wt] = t (mely azt jelenti, hogy Wt2−t szintén martingál). Egy harmadik jellemzés szinusz sorokkal történik, ahol az együtthatók független valószínűségi változók. Ez a megközelítés a Karhunen–Loève-tételt használja fel. Egy Wiener-folyamat a természetes filtrációjában martingál.

Kapcsolódó folyamatok

Brown-mozgás egy gömb felületén

Ez a sztochasztikus folyamat:

Xt=μt+σWt

a Wiener-folyamat μ drifttel, és elenyésző σ2. szórásnégyzettel. Ez a folyamat megfelel a Lévy-folyamatnak. Speciális változatai a Brown-híd és a Brown-elhajlás. A geometrikus Brown-mozgás:

e[βt−(α2t/2)+αWt].

Ez egy sztochasztikus folyamat, mely sohasem vesz fel negatív értéket, mint például a tőzsde értéke. Az alábbi sztochasztikus folyamat, a Ornstein–Uhlenbeck-folyamat.

Xt=e−tWe2t

Az integrált Brown-mozgás

A Wiener-folyamat idő szerinti integrálja: W(−1)(t):=∫0tW(s)ds Ezt integrált Brown-mozgásnak, vagy integrált Wiener-folyamatnak hívják. Az integrált Wiener-folyamat több alkalmazásnál is szerepel, mint normális eloszlás, zéró várható értékkel és t3/3 szórásnégyzettel. A Wiener-folyamat kovarianciája t∧s.[1]

Irodalom

  • Durrett, R: Probability: theory and examples,4th edition. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2000. ISBN 0-521-76539-0  

Jegyzetek

  1. ↑ Forum, "Variance of integrated Wiener process" Archiválva 2013. december 2-i dátummal a Wayback Machine-ben, 2009.

További információk

Kapcsolódó szócikkek

A lap eredeti címe: „https://hungaropedia.org/index.php?title=Wiener-folyamat&oldid=815034”