Helyettesítéses integrálás

A helyettesítéses integrálás egy matematikai módszer függvények integráljának kiszámítására vagy primitív függvényének meghatározására. A differenciálszámítás láncszabályának ellenpárja. Legyen $I\subseteq \mathbb{ℝ}$ egy intervallum, és $g:[a,b]\to I$ egy folytonos, legalább egyszer differenciálható függvény. Tegyük fel, hogy $f:I\to \mathbb{ℝ}$ egy folytonos függvény, akkor:

$\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(t))g^{\prime }(t)dt.$

A Leibniz-féle jelölést használva, az $x=g(t)$ behelyettesítés mindkét oldalát $t$ szerint deriválva megkapjuk a $dx/dt=g^{\prime }(t)$ kifejezést, amely formálisan átírható a $dx=g^{\prime }(t)dt$ alakra, mely a kívánt behelyettesítést adja $dx$-re. A szabályt lehet balról jobbra vagy jobbról balra alkalmazni. Az utóbbi eset u-helyettesítés néven is ismert.

Kapcsolat az analízis alaptételével

Az helyettesítéses integrálás levezethető az analízis alaptételéből, tehát a Newton–Leibniz-tételből: Legyen $f:I\to \mathbb{ℝ}$ és $g:[a,b]\to I$ két függvény, melyek eleget tesznek a következőknek: $f$ folytonos az $I$ intervallumban, és $g^{\prime }$ is folytonos az $[a,b]$ zárt intervallumban. Ekkor az $f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)$ függvény is folytonos $[a,b]$-ben. Ezekből következik, hogy a következő két integrál:

$\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)dx,$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(t))g^{\prime }(t)dt$

létezik. Mivel $f$ folytonos, rendelkezik egy $F$ antideriválttal, és definiálható az $F\circ g$ függvénykompozíció. Mivel $F$ és $g$ legalább egyszer differenciálható, a láncszabály értelmében:

$(F\circ g{)}^{\prime }(t)=F^{\prime }(g(t))g^{\prime }(t)=f(g(t))g^{\prime }(t).$

Az analízis alaptételének kétszeri alkalmazása bizonyítja, hogy a két integrál egyenlő:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(t))g^{\prime }(t)dt=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)=F(g(b))-F(g(a))=\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)dx,$

tehát bizonyítja a helyettesítési szabály helyességét is.

Példák

Tekintsük a következő integrált:

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx$

Ha elvégezzük az $u=x^2+1$ behelyettesítést, azt kapjuk, hogy: $$\begin{gathered} du=2x \\ dx \end{gathered}$$ és

$\underset{x=0}{\overset{x=2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx=\frac{1}{2}\underset{u=1}{\overset{u=5}{\int }}\cos (u)du=\frac{1}{2}(\sin (5)-\sin (1)).$

Fontos megjegyezni, hogy mivel az alsó határpontot (az $x=0$-t) az $u=0^2+1$ kifejezéssel, valamint a felső határpontot (az $x=2$-t) az $u=2^2+1=5$ kifejezéssel helyettesítettük, az $x$ visszahelyettesítése szükségtelen. A következő integrál kiértékeléséhez érdemes a helyettesítést jobbról balra alkalmazni:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx.$

Az $x=\sin (u)$ behelyettesítés hasznos, mivel így $$\begin{gathered} dx=\cos (u) \\ du \end{gathered}$$, és $u\in [0,\pi /2]$-re teljesül $\sqrt{(1-{\sin }^2(u))}=\cos (u)$. A behelyettesítést elvégezve a következő eredményt kapjuk:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-{\sin }^2(u)}\cos (u)du=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{}(u)du=\frac{\pi }{4}$

A ${\cos }^2(u)$ integrálja kiszámítható parciális integrálással és trigonometrikus azonosságok alkalmazásával.

Antideriváltak

A behelyettesítési módszer az antideriváltak meghatározására is használható. Példa az antiderivált meghatározásra:

$\int x\cos (x^2+1)dx=\frac{1}{2}\int 2x\cos (x^2+1)dx=\frac{1}{2}\int \cos udu=\frac{1}{2}\sin u+C=\frac{1}{2}\sin (x^2+1)+C$

ahol $C$ tetszőleges integrálási konstans. Mivel nem volt integrálási határpont (tehát az integrál határozatlan), az utolsó lépésben szükséges megfordítani az eredeti helyettesítést: $u=x^2+1$.

Alkalmazás a valószínűségszámításban

A behelyettesítési módszer a következő fontos kérdés megválaszolásában használható a valószínűségszámításban: Legyen adott egy $X$ valószínűségi változó $p_x$ valószínűség-sűrűséggel, és egy másik valószínűségi változó $Y$, mely $X$-hez az $Y=\mathrm{\Phi }(X)$ egyenlettel kapcsolódik, ahol $\mathrm{\Phi }$ egy injekció. A keresett mennyiség $Y$ valószínűség-sűrűsége. A kérdés megválaszolható, ha előtte kiszámítjuk azt, hogy mi a valószínűsége annak, hogy $Y$ egy bizonyos $S$ részhalmazon nemnulla értéket vesz fel. Jelöljük ezt a valószínűséget $P(Y\in S)$-ként. Ha $Y$ valószínűségi sűrűsége $p_y$, akkor a keresett mennyiség

$P(Y\in S)=\underset{S}{\int }{p}_y(y)dy.$

$Y$ akkor vesz fel nemnulla értéket az $S$ halmazon, ha $X$ nemnulla értéket vesz fel a ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(S)$ halmazon, tehát

$P(Y\in S)=P(X\in {\mathrm{\Phi }}^{-1}(S))=\underset{{\mathrm{\Phi }}^{-1}(S)}{\int }{p}_x(x)dx.$

Az integrálban az $x$ változó helyére $y$-t behelyettesítve

$P(Y\in S)=\underset{{\mathrm{\Phi }}^{-1}(S)}{\int }{p}_x(x)dx=\underset{S}{\int }{p}_x({\mathrm{\Phi }}^{-1}(y))\left|\frac{d{\mathrm{\Phi }}^{-1}}{dy}\right|dy.$

Ezt a kifejezést egyenlővé téve a $P(Y\in S)$ definíciójával a következőt kapjuk:

$\underset{S}{\int }{p}_y(y)dy=\underset{S}{\int }{p}_x({\mathrm{\Phi }}^{-1}(y))\left|\frac{d{\mathrm{\Phi }}^{-1}}{dy}\right|dy.$

Ebből következik, hogy:

$p_y(y)=p_x({\mathrm{\Phi }}^{-1}(y))\left|\frac{d{\mathrm{\Phi }}^{-1}}{dy}\right|.$

Abban az esetben, ha $X$ és $Y$ több korrelálatlan változótól függ, azaz $p_x=p_x(x_1\dots x_n)$ és $y=\mathrm{\Phi }(x)$, $p_y$-t többváltozós behelyettesítéssel kapjuk meg, melynek eredménye

$p_y(y)=p_x({\mathrm{\Phi }}^{-1}(y))|\det [D{\mathrm{\Phi }}^{-1}(y)]|.$

Irodalom

• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl. Real and abstract analysis. Springer-Verlag (1965). ISBN 978-0387045597. 
• Katz, V.. Change of variables in multiple integrals – Euler to Cartan. Mathematics Magazine 55 (1982). ISBN 978-0387045597. 
• Reiman István. Matematika. Typotex Kft (2011). ISBN 9789632793009 
• Gerőcs L.; Dr. Vancsó Ödön. Matematika. Akadémia Kiadó Zrt. (2010). ISBN 9789630584883 

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűségszámítás
• Sűrűségfüggvény
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Gamma-eloszlás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Karakterisztikus függvény
• Lapultság
• Láncszabály